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3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens

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Nachdem die Nullstäbe entfernt und die Lagerreaktionen bestimmt worden sind (vorherige Abschnitte), kann als nächstes das Knotenpunktverfahren durchgeführt werden.

Folgende Lagerkräfte sind berechnet worden:

$B = 8,33 kN$

$A_v = 11,67 kN$.

$A_h = -10 kN$.

Beim Knotenpunktverfahren wird jeder Knoten für sich frei geschnitten. Zur besseren Übersicht werden als erstes alle Knoten nummeriert:

Nummerierung der Knoten

Nachdem die Knoten nun nummeriert sind, erfolgt das Freischneiden dieser. Zur Ermittlung der Stabkräfte werden die zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen $R_x$ und $R_y$ herangezogen.

Knoten 1

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:

Ritterschnitt - Winkel1
Winkel berechnen

Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1

Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:

Gleichgewicht Knoten 1
Knoten 1

$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$

$ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$

$S_{14} = -26,09 kN$.

$\rightarrow :  A_h + S_{12} + S_{14} \cdot \cos (26,57°) = 0$

$ -10 kN + S_{12} - 26,09 \cdot \cos (26,57°) = 0$

$S_{12} = 33,33 kN$.

Es ist nun sinnvoll, den Knoten als nächstes zu wählen, welcher die wenigsten zu berechnenden Stäbe enthält. In diesem Beispiel ist das der Knoten 4 mit drei Stäben, da bereits der Stab $S_{14}$ bestimmt ist und somit nur noch zwei Stäbe berechnet werden müssen. Da der Stab $S_{45}$ bei der vertikalen Gleichgewichtsberechnung nicht berücksichtigt wird, kann der Stab $S_{24}$ ermittelt werden und im Anschluss bei der horizontalen Gleichgewichtsberechnung der Stab $S_{45}$.

Knoten 4

Knotenpunktverfahren - Knoten 4
Knoten 4

$\uparrow  : -S_{14} \cdot \sin (26,57°) - S_{24} \cdot \sin (26,57°) - F_1 = 0$

$ -26,09 kN \cdot \sin (26,57°) -  S_{24} \cdot \sin (26,57°) - 20 kN = 0$

$S_{24} = -18,62 kN$.

$\rightarrow :  -S_{14} \cdot \cos (26,57°) + S_{24} \cdot \cos (26,57°) + S_{45} = 0$

$ -26,09 kN \cdot \cos (26,57°) -18,62 kN \cdot \cos (26,57°) + S_{45} = 0$

$S_{45} = -6,68 kN$.

Als nächstes wird der Knoten 5 betrachtet.

Knoten 5

Knotenpunktverfahren - Knoten 5
Knoten 5

$\rightarrow  : -S_{45} + F_2 + S_{35} \cdot \sin (63,43°) = 0$

$ - (-6,68 kN) + 10 kN + S_{35} \cdot \sin (63,43°) = 0$

$S_{35} = -18,65 kN$.

$\uparrow  : -S_{25} - S_{35} \cdot \cos (63,43°) = 0$

$ -S_{25} - (-18,65  kN \cdot \cos (63,43°)) = 0$

$S_{25} = 8,34 kN$.

Knoten 2

Knoten 2 Gleichgewichtsbedingung
Knoten 2

Die vertikale Gleichgewichtsbedingung wird hier nicht betrachtet, da die Stabkräfte $S_{24}$ und $S_{25}$ bereits berechnet worden sind.

$\rightarrow : S_{23} - S_{12} - S_{24} \cdot \cos (26,57°) = 0$

$ S_{23} - 33,33 kN  - (-18,62 kN \cdot \cos (26,57°)) = 0$

$S_{23} = 16,68 kN$.

Knoten 3

Knotenpunktverfahren - Knoten 3
Knoten 3

Der letzte Knoten muss nicht weiter berücksichtigt werden, da alle Stäbe berechnet sind.

Stabkrafttabelle

Die ermittelten Stabkräfte werden in einer Stabkrafttabelle zusammengefasst:

i $S_{12}$ $S_{14}$ $S_{23}$ $S_{24}$ $S_{25}$ $S_{35}$ $S_{45}$
kN 33,33 kN -26,09 kN 16,68 kN -18,62 kN 8,34 kN -18,65 kN -6,68 kN

Die Minuszeichen bei den Stabkräften zeigen an, dass es sich hierbei um Druckstäbe handelt.

Kommentare zum Thema: 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens

  • Jessica Scholz schrieb am 11.02.2015 um 18:07 Uhr
    Hallo Frau Pausch, es geht bei der Berechnung der Gleichgewichtsbedingungen nicht darum, welche Kräfte von einem Knoten weggehen oder welche Kräfte zu einem Knoten hinzeigen, sondern es geht darum, die Kräfte in eine Horizontalkomponente (in positive x-Richtung) und in eine Vertikalkomponente (in positive y-Richtung) zu zerlegen. Die hier verwendeten Winkel wurden alle zur positiven x- und y-Achse gewählt. Betrachten Sie z.B. die Stabkraft S14. Diese zeigt in einem Koordinatensystem mit K4 als Ursprung in den 3. Quadranten. Man kann diese Kraft nun in Richtung der positiven x-Achse legen, wenn man den Winkel oberhalb der Kraft bis hin zur positiven x-Achse betrachtet. Wenn man diesen gesamten Winkel wählt, dann muss man kein Vorzeichen beachten: cos(206,57°) wird nämlich negativ. Alternativ kann man die Kraft S14 aber auch mit dem Winkel alpha = 26,57° in Richtung der negativen x-Achse legen: cos (26,57°). Dann muss man aber ein Minuszeichen davor setzen. Dieses bedeutet dann nämlich eine Drehung der Kraft um 180°. Genau so verfährt man auch mit den anderen Kräften. In diesen Beispielen sind immer die Winkel hin zu den positiven Achsen gewählt worden, weshalb Minuszeichen nicht berücksichtigt werden müssen. Denken Sie einfach immer daran sich ein Koordinatensystem zu zeichnen und als Urpsrung wählen Sie den Knoten. Dann können Sie die Kräfte und Winkel eintragen und damit dann die Kräftezerlegung vornehmen. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • pausch nancy schrieb am 11.02.2015 um 13:21 Uhr
    Weshalb werden beim K4 zur Berechnung nach y-Richtung (nach oben positiv) die S14, S24 nicht negativ angerechnet, die Kräfte gehen doch alle vom Knoten weg???? Das selbe tritt in x-Richtung auf S24 (+) das stimmt S14 (-) zeigt nach links wird aber positiv berechnet??
  • Jessica Scholz schrieb am 05.01.2015 um 09:34 Uhr
    Hallo Herr Kiehbadroudinezad. Vielen Dank für den Hinweis. Die +10kN sind falsch. Dadurch ändert sich der Knoten S(12) zu 33,33 kN und der Knoten S(23) ändert sich ebenfalls zu 16,68 kN. Diese Änderungen sind bereirs vorgenommen worden. Viele Grüße, Ihr Ingenieurkurse.de Team.
  • Hoda Kiehbadroudinezad schrieb am 27.12.2014 um 16:12 Uhr
    Liebe Examio-Team, ich kann zwar beim ersten Knoten die Formel nachvollziehen: → Rx=Ah+S12+S14⋅cos(26,57°)=0 Aber verstehe nicht, woher eine zusätzliche +10kN auftaucht: Rx= −10kN+10kN+S12−26,09⋅cos(26,57°)=0
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Autor: Jessica Scholz

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