ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 1: Statik - 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens

Kursangebot | Technische Mechanik 1: Statik | 3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens

Technische Mechanik 1: Statik

3. Durchführung des Knotenpunktverfahrens

Nachdem die Nullstäbe entfernt und die Lagerreaktionen bestimmt worden sind (vorherige Abschnitte), kann als nächstes das Knotenpunktverfahren durchgeführt werden.

Folgende Lagerkräfte sind berechnet worden:

$B = 8,33 kN$

$A_v = 11,67 kN$.

$A_h = -10 kN$.

Beim Knotenpunktverfahren wird jeder Knoten für sich frei geschnitten. Zur besseren Übersicht werden als erstes alle Knoten nummeriert:

Nummerierung der Knoten

Nachdem die Knoten nun nummeriert sind, erfolgt das Freischneiden dieser. Zur Ermittlung der Stabkräfte werden die zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen $R_x$ und $R_y$ herangezogen.

Knoten 1

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, müssen noch die Winkel berechnet werden. Hierzu wird das erste Dreieck betrachtet und durch die Höhenlinie geteilt. Mithilfe der Tangensfunktion kann dann der Winkel berechnet werden:

Ritterschnitt - Winkel1
Winkel berechnen

Gleichgewichtsbedingungen Knoten 1

Bei dem Knotenpunktverfahren werden die Knoten alle einzeln freigeschnitten und dann die Kräfte, die auf diese Knoten wirken, berücksichtigt:

Gleichgewicht Knoten 1
Knoten 1

$\uparrow :  A_v + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$

$ 11,67 kN + S_{14} \cdot \sin (26,57°) = 0$

$S_{14} = -26,09 kN$.

$\rightarrow :  A_h + S_{12} + S_{14} \cdot \cos (26,57°) = 0$

$ -10 kN + S_{12} - 26,09 \cdot \cos (26,57°) = 0$

$S_{12} = 33,33 kN$.

Es ist nun sinnvoll, den Knoten als nächstes zu wählen, welcher die wenigsten zu berechnenden Stäbe enthält. In diesem Beispiel ist das der Knoten 4 mit drei Stäben, da bereits der Stab $S_{14}$ bestimmt ist und somit nur noch zwei Stäbe berechnet werden müssen. Da der Stab $S_{45}$ bei der vertikalen Gleichgewichtsberechnung nicht berücksichtigt wird, kann der Stab $S_{24}$ ermittelt werden und im Anschluss bei der horizontalen Gleichgewichtsberechnung der Stab $S_{45}$.

Knoten 4

Knotenpunktverfahren - Knoten 4
Knoten 4

$\uparrow  : -S_{14} \cdot \sin (26,57°) - S_{24} \cdot \sin (26,57°) - F_1 = 0$

$ -26,09 kN \cdot \sin (26,57°) -  S_{24} \cdot \sin (26,57°) - 20 kN = 0$

$S_{24} = -18,62 kN$.

$\rightarrow :  -S_{14} \cdot \cos (26,57°) + S_{24} \cdot \cos (26,57°) + S_{45} = 0$

$ -26,09 kN \cdot \cos (26,57°) -18,62 kN \cdot \cos (26,57°) + S_{45} = 0$

$S_{45} = -6,68 kN$.

Als nächstes wird der Knoten 5 betrachtet.

Knoten 5

Knotenpunktverfahren - Knoten 5
Knoten 5

$\rightarrow  : -S_{45} + F_2 + S_{35} \cdot \sin (63,43°) = 0$

$ - (-6,68 kN) + 10 kN + S_{35} \cdot \sin (63,43°) = 0$

$S_{35} = -18,65 kN$.

$\uparrow  : -S_{25} - S_{35} \cdot \cos (63,43°) = 0$

$ -S_{25} - (-18,65  kN \cdot \cos (63,43°)) = 0$

$S_{25} = 8,34 kN$.

Knoten 2

Knoten 2 Gleichgewichtsbedingung
Knoten 2

Die vertikale Gleichgewichtsbedingung wird hier nicht betrachtet, da die Stabkräfte $S_{24}$ und $S_{25}$ bereits berechnet worden sind.

$\rightarrow : S_{23} - S_{12} - S_{24} \cdot \cos (26,57°) = 0$

$ S_{23} - 33,33 kN  - (-18,62 kN \cdot \cos (26,57°)) = 0$

$S_{23} = 16,68 kN$.

Knoten 3

Knotenpunktverfahren - Knoten 3
Knoten 3

Der letzte Knoten muss nicht weiter berücksichtigt werden, da alle Stäbe berechnet sind.

Stabkrafttabelle

Die ermittelten Stabkräfte werden in einer Stabkrafttabelle zusammengefasst:

i $S_{12}$ $S_{14}$ $S_{23}$ $S_{24}$ $S_{25}$ $S_{35}$ $S_{45}$
kN 33,33 kN -26,09 kN 16,68 kN -18,62 kN 8,34 kN -18,65 kN -6,68 kN

Die Minuszeichen bei den Stabkräften zeigen an, dass es sich hierbei um Druckstäbe handelt.