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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)

In diesem Abschnitt geht es um statisch unbestimmte Probleme. Diese lassen es nicht mehr zu, dass die Normalkraft $ N(x) $ eines Stabes allein aus der Gleichgewichtsbedingung heraus bestimmt werden kann. Die neue Gegebenheit erfordert eine Betrachtung aller Gleichungen gleichzeitig. Auch Wärmespannungen können durch Temperaturänderungen auftreten und müssen berücksichtigt werden. 

Zum besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel:

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei ein statisch unbestimmter Stab mit den Querschnittsflächen $ A_1 $ und $ A_2 $. Dieser Stab ist zwischen zwei starren Wänden gelagert. In horizontaler Richtung treten zwei Lagerkräfte A und B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen des rechten Bereichs, welcher um die Temperatur $\triangle T $ gleichmäßig erwärmt wird. 
Statisch unbestimmter Stab
Statisch unbestimmter Stab

Wieder stehen die drei bereits bekannten Gleichungen zur Verfügung:

1. Die Gleichgewichtsbedingung

2. Die kinematische Beziehung

3. Das Elastizitätsgesetz.

Gleichgewichtsbedingung

Zur Ermittlung steht nur eine Gleichgewichtsbedingung für den gesamten Stab zur Verfügung:

$\rightarrow: A - B = 0 \rightarrow A = B $ 

Es ist nicht möglich $A$ oder $B$ daraus zu bestimmen.

Kinematische Beziehung

Da nur eine Gleichgewichtsbedingung verfügbar ist, muss die Verformung berücksichtigt werden.

Kinematische Beziehungen
Kinematische Beziehungen

Die Normalkraft zeigt immer in (positive oder negative) x-Richtung. Wenn der Stab also geschnitten wird, folgt die Gleichgewichtsbedingung für den rechten Stabteil:

$\rightarrow : -N - B = 0 \rightarrow N = -B$.

Für den linken Stabteil gilt:

$\rightarrow : N + A = 0 \rightarrow N = -A$

Es folgt $N = -A = -B$. Des Weiteren gilt, dass die Gesamtlängenänderung $\triangle l = 0 $ sein muss, da der Stab zwischen zwei Wänden steckt und sich somit nicht Verlängern oder Verkürzen kann. Hieraus resultiert die geometrische Bedingung:

Methode

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$\triangle l = \triangle l_1 + \triangle l_2 = 0 $                 Verträglichkeitsbedingung

Merke

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Die Verträglichkeitsbedingungen (auch Kompatibilitätsbedingung genannt) beschreiben die Formulierung der Annahme, dass ein Körper bei der Verformung als zusammenhängendes Gefüge erhalten bleibt.

Für die Längenänderung der beiden Abschnitte muss jeweils gelten:

$\triangle l_1 = \frac{N l}{EA_1}$ und [der thermische Anteil fällt hier weg, da nur der rechte Stabteil erwärmt wird]

$\triangle l_2 = \frac{N l}{EA_2} + \alpha_{th} \triangle T \cdot l $

Eingesetzt erhält man schließlich:

 $\triangle l  = \frac{N l}{EA_1} + \frac{N l}{EA_2} + \alpha_{th} \triangle T \cdot l = 0 $

Elastizitätsgesetz

Durch die oben getroffenen Annahmen können nun die Lagerreaktionen bestimmt werden:

$ \frac{N l}{EA_1} + \frac{N l}{EA_2} + \alpha_{th} \triangle T \cdot l = 0 \rightarrow $ Auflösen nach $ N $:

$ \frac{N l}{EA_1} + \frac{N l}{EA_2} = -\alpha_{th} \triangle T \cdot l $  | $\cdot EA_1$ | $\cdot EA_2$

$ N l \cdot EA_2 + N l \cdot EA_1 = -\alpha_{th} \triangle T \cdot l \cdot EA_1 \cdot EA_2$

$N l E (A_2 + A_1) = -\alpha_{th} \triangle T \cdot l \cdot EA_1 \cdot EA_2$            |: $(A_2 + A_1)$

$N l E = -\frac{\alpha_{th} \triangle T \cdot l \cdot EA_1 \cdot EA_2}{A_2 + A_1}$      |: $l E$

$N = -\frac{\alpha_{th} \triangle T \cdot l \cdot EA_1 \cdot EA_2}{(A_2 + A_1) E l}$      | ein $E$ und $l$ kürzen

$N = -\frac{\alpha_{th} \triangle T \cdot EA_1 \cdot A_2}{A_2 + A_1}$

Da $N = -A = -B$ und die Lagerreaktionen $A$ und $B$ bestimmt werden sollen, folgt:

$ A = B = - N = \frac{\alpha_{th} \triangle T \cdot EA_1 \cdot A_2}{A_2 + A_1}$