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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Torsion bei Stab mit Kreisringquerschnitt

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Torsion bei Stab mit Kreisringquerschnitt

Nun wird der Frage nachgegangen, wie sich die Berechnung ändert, sobald es sich nicht mehr um eine Vollwelle, sondern um eine Hohlwelle mit einem Kreisringquerschnitt handelt. 

Kreisringquerschnitt
Kreisringquerschnitt

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bis auf die Bestimmung des polaren Flächenträgheitsmoments, sind für die Berechnung von Spannung und Verformung einer Hohlwelle identische Annahmen und Formeln wie bei der Vollwelle zu verwenden.


Die besagte Änderung des polaren Flächenträgheitsmoments äußert sich dann durch:

Methode

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$\ I_P = \frac{\pi(r_a^4 - r_i^4)}{2}$               Polares Flächenträgheitsmoment

Wobei $r_a$ den Außenradius und $r_i$ den Innenradius des Rohrs darstellt.


[Zum Vergleich: Das polare Flächenträgheitsmoment der Vollwelle hatte die Form: $I_P = \frac{\pi r^4}{2}$].

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Es liegt wie bei der Vollwelle ein linearer Spannungsverlauf vor. Da es sich aber um einen Kreisringquerschnitt handelt, liegt das Minimum nicht wie bei der Vollwelle im geografischen Mittelpunkt, sondern am Innenrand des Kreisrings und das Maximum entsprechend am Außenrand (wie bei der Vollwelle).   


Es gilt für die maximale Schubspannung entsprechend:

Methode

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$\tau_{max} = \tau_{(r=r_a)} = \frac{M_T}{I_P}r_a = \frac{MT}{WT}$    Maximale Schubspannung


Abschließend muss noch die Gleichung für das Widerstandsmoment $ W_T $ aufgestellt werden. Diese wird entsprechend der Änderung des polaren Flächenträgheitsmoments angepasst zu:

Methode

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$ W_T = \frac{\pi (r_a^4 - r_i^4)}{2r_a}$                  Widerstandsmoment

Dünnwandige kreisförmige Hohlwellen

Es sind noch die dünnwandigen kreisförmigen Querschnitte zu betrachten. Hier gilt h

Dünnwandiger Kreisringquerschnitt
Dünnwandiger Kreisringquerschnitt

Methode

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$\tau_{max} = \tau_{(r=r_m)} = \frac{M_T}{I_P}r_m = \frac{MT}{WT}$     maximale Schubspannung

mit

$I_P = 2 \pi r_m^3 \cdot h$

$W_T = 2 \pi r_m^2 \cdot h$