Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen

In diesem Abschnitt soll die Berechnung der Schnittgrößen (Querkraft, Biegemoment) bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet:

Verteilte Last

In der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $\frac{l}{2}$.

Lagerreaktionen

Im Gegensatz zur Integration müssen die Lagerreaktionen bei diesem Verfahren bestimmt werden. Diese werden wie üblich aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt. Der Bezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung wird in das Lager $A$ gelegt:

$\curvearrowleft = B \cdot l - (q_0 \cdot l) \cdot \frac{l}{2} = 0$

Hierbei ist $q_0 \cdot l$ die Resultierende der Streckenlast, welche im Schwerpunkt des Balkens liegt (mittig). $\frac{l}{2}$ ist der Hebelarm zum Bezugspunkt $A$. Nach $B$ auflösen ergibt dann:

Aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung ergibt sich dann:

$\uparrow : A_v + B - q_0 \cdot l = 0$

Einsetzen von $B$ führt auf:

$ A_v + q_0 \cdot \frac{l}{2} - q_0 \cdot l = 0$

$A_v - q_0 \frac{l}{2}= 0$

$A_h$ (horizontale Lagerkraft) ist gleich Null, da von außen keine horizontalen Kräfte auf den Balken wirken.

Nachdem nun die Lagerreaktionen bestimmt sind können die Querkraft und das Biegemoment berechnet werden.

Bestimmung der Querkraft

Die Querkraft berechnet sich aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen, da diese ebenfalls vertikal wirkt. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle $x$ am Balken durchgeführt und dieser in zwei Teile zerlegt. Am linken Balkenteil (linkes Schnittufer) wird dann die Querkraft berechnet. Die Normalkraft ist nicht eingezeichnet, weil keine horizontalen Kräfte auf den Balken wirken und diese demnach zu Null wird:

Schnitt

In der obigen Grafik ist der linke Balkenteil dargestellt. Die Querkraft wirkt nach unten. Die verteilte Last muss nun nicht mehr über die Länge $l$ betrachtet werden sondern verteilt sich auf die Länge $x$ mit $q_0 \cdot x$. Diese wird wieder im Schwerpunkt (beim Rechteck liegt dieser in der Mitte) bei $\frac{x}{2}$ angesetzt. 

Die Berechnung der Querkraft erfolgt aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung mit:

$\uparrow : A - Q - q_0 \cdot x = 0$

$Q = - q_0 \; x + A $

Einsetzen von $A = A_v$ ergibt:

Bestimmung des Biegemoments

Das Biegemoment berechnet sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung wobei der Bezugspunkt in der Schnittfläche liegt:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} : M - A \cdot x + (q_0 \cdot x) \cdot \frac{x}{2} = 0$

$M =  - q_0 \cdot x \cdot \frac{x}{2} + A \cdot x$

Einsetzen von $A = A_v$ ergibt:

Das Ergebnis ist das gleiche wie im vorherigen Abschnitt beim Fest- und Loslager mittels Integration.

Anwendungsbeispiel: Schnittgrößen mit Streckenlast

(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $2,5l$.

Freischnitt

Es werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt:

$\uparrow: B + A_v - q_0 \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

$\rightarrow: A_h - F \cos (30°) = 0$

$\curvearrowleft{A}: -(q_0 \cdot 3l) \cdot 2,5l - F \sin(30°) \cdot 5l + B \cdot 6l = 0$

$B = \frac{(q_0 \cdot 3l) \cdot 2,5l + F \sin(30°) \cdot 5l}{6l} $

Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

$B = \frac{12F \cdot 2,5l + F \sin(30°) \cdot 5l}{6l} $

$B = \frac{12F \cdot 2,5 + F \sin(30°) \cdot 5}{6} $

$l$ kürzen:

$B = \frac{12F \cdot 2,5 + F \sin(30°) \cdot 5}{6} $

Berechnung von $A_v$ aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

$ B + A_v - q_0 \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

Einsetzen von $B = 5,42 F$ und $q_0 =  \frac{4F}{l}$:

$ 5,42 F + A_v - \frac{4F}{l} \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

$A_v = -5,42 F + \frac{4F}{l} \cdot 3l + F \sin(30°)$

(b) Geschnitten wird der Balken zwischen $0$ und $l$, zwischen $l$ und $4l$, zwischen $4l$ und $5l$ und zwischen $5l$ und $6l$. 

In der obigen Grafik ist nochmals das linke und das rechte Schnittufer aufgezeigt. Für den 1. und 2. Schnitt wird das linke Schnittufer betrachtet.

1. Schnitt (zwischen $0$ und $l$) 

$\rightarrow: N + A_h = 0$

$\downarrow : Q - A_v = 0$

$\curvearrowleft: M - A_v \cdot x = 0$

2. Schnitt (zwischen $l$ und $4l$):

$\rightarrow: N + A_h = 0$

$\downarrow : Q - A_v + q_0 \cdot (x - l) = 0$

$Q = A_v -  q_0 \cdot (x - l) $

Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

Die Streckenlast wird wie folgt berücksichtigt:

Für die Querkraft wird die Streckenlast bis zum Schnitt berücksichtigt. Wird bei $x$ geschnitten, so muss $l$ abgezogen werden, da dieser Bereich vor der Streckenlast liegt. Die Zusammenfassung der Streckenlast zu einer Größe (wird immer im Schwerpunkt angesetzt) erfolgt demnach zu $q_0 \cdot (x-l)$. Diese zeigt ebenfalls nach unten.

Für die Momentenberechnung muss noch der Hebelarm multipliziert werden. Da die zusammengefasste Streckenlast mittig von der gesamten Last angreift, ist dieser gegeben bei der Hälfte: $\frac{x-l}{2}$.

$\curvearrowleft: M - A_v \cdot x + q_0 \cdot (x - l) \cdot \frac{(x - l)}{2} = 0$

$M = A_v \cdot x -  \frac{1}{2} q_0 \cdot (x - l)^2$

Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

3. Schnitt (zwischen $4l$ und $5l$):

Diesmal wird das rechte Schnittufer betrachtet, da die Berechnung hier einfacher ausfällt, weil nur die Kräfte $F$ und $B$ berücksichtigt werden müssen. Hier werden die Schnittgrößen nun entgegengesetzt berücksichtigt.

$\leftarrow: N + F \cos(30°) = 0$

$\uparrow : Q - F \sin(30°) + B = 0$

$\curvearrowright: M + F \sin(30°) \cdot (5l - x) - B \cdot (6l - x) = 0$ 

$M = - F \sin(30°) \cdot (5l - x) + B \cdot (6l - x)$

4. Schnitt (zwischen $5l$ und $6l$):

Diesmal wird das rechte Schnittufer betrachtet, da die Berechnung hier einfacher ausfällt, weil nur die Kraft $B$ berücksichtigt werden muss. Hier werden die Schnittgrößen nun entgegengesetzt berücksichtigt.

$\leftarrow: N = 0$

$\uparrow : Q + B = 0$

$\curvearrowright: M - B \cdot (6l - x) = 0$ 

$M = B \cdot (6l - x)$