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Technische Mechanik 1: Statik - Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen

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Technische Mechanik 1: Statik

Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen

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In diesem Abschnitt soll die Berechnung der Schnittgrößen (Querkraft, Biegemoment) bei einer gegebenen Streckenlast nicht durch Integration (vorheriger Abschnitt), sondern durch die Gleichgewichtsbedingungen dargestellt werden. Hierzu wird die folgende Grafik betrachtet:

In der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $\frac{l}{2}$.

Verteilte Last Einzelgröße

Lagerreaktionen

Im Gegensatz zur Integration müssen die Lagerreaktionen bei diesem Verfahren bestimmt werden. Diese werden wie üblich aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmt:

$\curvearrowleft A = B \cdot l - q_0 l \cdot \frac{l}{2} = 0$

$ B = \frac{l}{2} q_o$

$\uparrow : A_v + B - q_0 l = 0$

$ A_v + \frac{l}{2} q_o - q_0 l = A_v - \frac{l}{2} q_0 = 0$

$A_v = \frac{l}{2} q_0$

$A_h$ (horizontale Lagerkraft) ist gleich Null, da sonst keine weiteren horizontalen Kräfte wirken.

Nachdem nun die Lagerreaktionen bestimmt sind können die Querkraft und das Biegemoment berechnet werden.

Bestimmung der Querkraft

Die Querkraft berechnet sich aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingungen, da diese ebenfalls vertikal wirkt. Hierzu wird ein Schnitt an einer beliebigen Stelle $x$ am Balken durchgeführt und dieser in zwei Teile zerlegt. Am linken Balkenteil wird dann die Querkraft berechnet:

Schnitt am Balken (verteilte Last)
Schnitt

In der obigen Grafik ist der linke Balkenteil dargestellt. Die Querkraft wirkt nach unten. Die verteilte Last muss nun nicht mehr über die Länge $l$ betrachtet werden sondern verteilt sich auf die Länge $x$ mit $q_0 \cdot x$. Diese wird wieder im Schwerpunkt (bei Rechteck liegt dieser in der Mitte) angesetzt. 

Die Berechnung der Querkraft erfolgt aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung mit:

$\uparrow : A - Q - q_0 \; x = 0$

$Q = - q_0 \; x + A = - q_0 \; x + \frac{1}{2} q_0 \;  l$

Bestimmung des Biegemoments

Das Biegemoment berechnet sich aus der Momentengleichgewichtsbedingung im Schnitt:

$\stackrel{\curvearrowleft}{S} : M - A \cdot x + q_0 \; x \cdot \frac{1}{2} x = 0$

$M =  - q_0 \; x \cdot \frac{1}{2} x + A \cdot x$

$M =  - \frac{1}{2} q_0 \; x^2  + \frac{1}{2} q_0 \;  l \cdot x$

Das Ergebnis ist das gleiche wie im vorherigen Abschnitt beim Fest- und Loslager mittels Integration.

Merke

Bei der Integration (vorherige Abschnitt) wird nur die Einzellast $q_0$ betrachtet und dann mittels Integration die Summe der Einzelkraft gebildet, so dass die verteile Last berechnet wird. Bei der Integration wird also die Länge nicht berücksichtigt, da diese innerhalb des Integrals berücksichtigt wird. Bei der Integration würde in diesem Beispiel also nur $q_0$ in die Integration eingehen ohne Länge $x$. Wird allerdings nicht integriert, dann muss die gesamte verteilte Last berechnet werden, also der Flächeninhalt. Hier wird also einmal die Einzellast $q_0$ sowie die Länge benötigt. Also $q_0 \cdot x$. Man hat demnach den Flächeninhalt und somit die verteilte Last ohne Integration berechnet. Mit Integration würde man auf das selbe Ergebnis kommen:

$Q = \int_0^x q_0 dx = q_0 \cdot x$.

Anwendungsbeispiel: Schnittgrößen mit Streckenlast

Beispiel Schnittgrößen Streckenlast

Beispiel

Gegeben sei die obige Grafik mit der verteilten Last $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie

(a) die Lagerreaktionen

(b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$.

(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) mit der gesamten Strecke, auf welche die Last wirkt, multipliziert werden: $q_0 \cdot 3l$. Diese Kraft wird in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $2,5l$.

Beispiel Schnittgrößen Streckenlast
Freischnitt

Es werden nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt:

$\uparrow: B + A_v - q_0 \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

$\rightarrow: A_h - F \cos (30°) = 0$

Methode

$A_h = F \cos(30°) \approx 0,866 F$.

$\curvearrowleft{A}: -(q_0 \cdot 3l) \cdot 2,5l - F \sin(30°) \cdot 5l + B \cdot 6l = 0$

$B = \frac{(q_0 \cdot 3l) \cdot 2,5l + F \sin(30°) \cdot 5l}{6l} $

Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

$B = \frac{12F \cdot 2,5l + F \sin(30°) \cdot 5l}{6l} $

$B = \frac{12F \cdot 2,5 + F \sin(30°) \cdot 5}{6} $

$l$ kürzen:

$B = \frac{12F \cdot 2,5 + F \sin(30°) \cdot 5}{6} $

Methode

$B = \frac{30 F + 2,5 F}{6} \approx 5,42 F$

Berechnung von $A_v$ aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

$ B + A_v - q_0 \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

Einsetzen von $B = 5,42 F$ und $q_0 =  \frac{4F}{l}$:

$ 5,42 F + A_v - \frac{4F}{l} \cdot 3l - F \sin(30°) = 0$

$A_v = -5,42 F + \frac{4F}{l} \cdot 3l + F \sin(30°)$

Methode

$A_v = -5,42 F + 12 F + 0,5F = 7,08 F$.


(b)
Geschnitten wird der Balken zwischen $0$ und $l$, zwischen $l$ und $4l$, zwischen $4l$ und $5l$ und zwischen $5l$ und $6l$. 

Schnittufer, linkes und rechtes

In der obigen Grafik ist nochmals das linke und das rechte Schnittufer aufgezeigt. Für den 1. und 2. Schnitt wird das linke Schnittufer betrachtet.

1. Schnitt (zwischen $0$ und $l$) 

$\rightarrow: N + A_h = 0$

Methode

$N = -A_h = -0,866 F$.

$\downarrow : Q - A_v = 0$

Methode

$Q = A_v = 7,08 F$

$\curvearrowleft: M - A_v \cdot x = 0$

Methode

$M = 7,08 F \cdot x$


2. Schnitt
(zwischen $l$ und $4l$):

$\rightarrow: N + A_h = 0$

Methode

$N = -A_h = -0,866 F$.


$\downarrow : Q - A_v + q_0 \cdot (x - l) = 0$

$Q = A_v -  q_0 \cdot (x - l) $


Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

Methode

$Q = 7,08 F - \frac{4F}{l} \cdot (x - l) $

Die Streckenlast wird wie folgt berücksichtigt:

Schnittgrößen Streckenlast

Für die Querkraft wird die Streckenlast bis zum Schnitt berücksichtigt. Wird bei $x$ geschnitten, so muss $l$ abgezogen werden, da dieser Bereich vor der Streckenlast liegt. Die Zusammenfassung der Streckenlast zu einer Größe (wird immer im Schwerpunkt angesetzt) erfolgt demnach zu $q_0 \cdot (x-l)$. Diese zeigt ebenfalls nach unten.

Für die Momentenberechnung muss noch der Hebelarm multipliziert werden. Da die zusammengefasste Streckenlast mittig von der gesamten Last angreift, ist dieser gegeben bei der Hälfte: $\frac{x-l}{2}$.


$\curvearrowleft: M - A_v \cdot x + q_0 \cdot (x - l) \cdot \frac{(x - l)}{2} = 0$

$M = A_v \cdot x -  \frac{1}{2} q_0 \cdot (x - l)^2$

Einsetzen von $q_0 = \frac{4F}{l}$:

Methode

$M = 7,08 F \cdot x -  \frac{2F}{l} \cdot (x - l)^2$


3. Schnitt (zwischen $4l$ und $5l$):

Diesmal wird das rechte Schnittufer betrachtet, da die Berechnung hier einfacher ausfällt, weil nur die Kräfte $F$ und $B$ berücksichtigt werden müssen. Hier werden die Schnittgrößen nun entgegengesetzt berücksichtigt.

$\leftarrow: N + F \cos(30°) = 0$

Methode

$N = -F \cos(30°) = -0,866 F$.


$\uparrow : Q - F \sin(30°) + B = 0$

Methode

$Q =  F \sin(30°) - B = 0,5 F - 5,42 F = -4,92F$.


$\curvearrowright: M + F \sin(30°) \cdot (5l - x) - B \cdot (6l - x) = 0$ 

$M = - F \sin(30°) \cdot (5l - x) + B \cdot (6l - x)$

Methode

$M = - 0,5 F \cdot (5l - x) + 5,42 F \cdot (6l - x)$


4. Schnitt (zwischen $5l$ und $6l$):

Diesmal wird das rechte Schnittufer betrachtet, da die Berechnung hier einfacher ausfällt, weil nur die Kraft $B$ berücksichtigt werden muss. Hier werden die Schnittgrößen nun entgegengesetzt berücksichtigt.

$\leftarrow: N = 0$

Methode

$N = 0$


$\uparrow : Q + B = 0$

Methode

$Q = - B = - 5,42 F $


$\curvearrowright: M - B \cdot (6l - x) = 0$ 

$M = B \cdot (6l - x)$

Methode

$M = 5,42 F \cdot (6l - x)$

Video: Schnittgrößen

Video: Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen

Video: Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen

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