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Technische Mechanik 1: Statik - Statische Bestimmtheit von Fachwerken

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Technische Mechanik 1: Statik

Statische Bestimmtheit von Fachwerken

Ein Fachwerk ist genau dann statisch bestimmt, wenn sich alle in ihm auftretenden Stabkräfte berechnen lassen. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn es sich um ein einfaches Fachwerk handelt. 

Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von Fachwerken

Fachwerke statische Bestimmtheit
Fachwerk

Beispiel

Das obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen). 

Es stellt sich nun die Frage, wie die Anzahl der Stäbe ($s$), Knoten ($k$), sowie Lagerkräfte ($r$) beschaffen sein muss, damit das Fachwerk statisch bestimmt ist. Da sich jeder Knoten im Gleichgewicht befindet, müssen die Teilresultierenden $R_x$ und $R_y$ aller Kräfte, die auf diesen Knoten einwirken, am Ende den Wert null annehmen. Es stehen demnach zwei Gleichgewichtsbedingungen für die Knoten ($k$) zur Verfügung. Bei $5$ Knoten bedeutet das $2 \cdot 5 = 10$ Gleichungen aus denen 10 Unbekannte (Lagerkräfte und Stäbe) bestimmt werden können. Die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit ist also:

$2k = r + s$

Es existieren $r = 3$ Lagerkräfte und $s = 7$ Stabkräfte, also insgesamt 10 Unbekannte. Die Bedingung ist demnach erfüllt und das Fachwerk ist statisch bestimmt. Das bedeutet, dass alle Stabkräfte berechnet werden können.