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Technische Mechanik 1: Statik - Schnittgrößen: Streckenlast am Balken

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Technische Mechanik 1: Statik

Schnittgrößen: Streckenlast am Balken

Im vorherigen Abschnitt wurde bereits erwähnt, dass ein Zusammenhang zwischen Biegemoment $ M $ und Querkraft $ Q $ besteht. Dieser Zusammenhang bezog sich jedoch nur auf Einzelkräfte. Im Folgenden soll der Zusammenhang für ein Biegemoment und eine Streckenlast hergestellt werden. 

Hierzu betrachte man die nachfolgende Abbildung:

Schnittgrößen bei verteilter Last
Schnittgrößen bei gegebener Streckenlast

Grafik a zeigt einen durch eine Streckenlast belasteten Balken, aus dem ein Element der infinitesimalen Länge $ dx$ herausgeschnitten wird. Grafik b zeigt nun das herausgeschnittene Element der infinitesimalen Länge $dx$. Die verteilte Last wird ersetzt durch eine Einzellast der Größe

$\ dF = q(x) \; dx $

und greift hier im Schwerpunkt des herausgeschnittenen Elementes an. An der betrachteten Schnittstelle $ x $ (links) wirken sowohl Biegemoment $ M $, als auch die Querkraft $ Q $. Betrachtet man nun die Schnittstelle $ x + dx$ (rechts), so ändern sich die Schnittgrößen um die infinitesimalen Werte $ dM $ und $ dQ $. 

Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen

Die aus der obigen Grafik b resultierenden Gleichgewichtsbedingungen haben die Form:

1. $\uparrow : Q - q(x) \; dx - (Q + dQ) = 0 \rightarrow q(x) \; dx + dQ = 0$


Für die Momentengleichgewichtsbedingung wird der Bezugspunkt $A$ gewählt:

2. $\stackrel{\curvearrowleft}{A} : -M - Q \cdot dx + \frac{dx}{2} q(x) \; dx \; $(Einzellast, die in der Mitte greift)$ \; + (M + dM) = 0$

$\rightarrow \;  -Q \cdot dx + dM + \frac{1}{2} q(x) \; dx \cdot dx = 0 $


Aus der ersten Gleichung lässt sich erkennen, dass die Änderung der Querkraft $ Q $ durch die negative Streckenlast $ - q$ gegeben ist:

(a) $ q(x) \; dx + dQ = 0 \rightarrow \frac{dQ}{dx} = - q$.


Aus der zweiten Gleichung wird deutlich, dass die Ableitung des Biegemoments $ M $ nach $ x $ die Querkraft $ Q $ ergibt (dabei ist das Glied mit $dx \cdot dx$ klein von höherer Ordnung und kann daher vernachlässigt werden).

(b) $ -Q dx + dM + \frac{1}{2} q(x) \; dx \cdot dx = 0 \rightarrow \frac{dM}{dx} = Q $


Ableitung der Gleichung (b) und anschließendes Einsetzen in die Gleichung (a) ergibt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$ \frac{d^2M}{dx^2} = - q $. 

Das bedeutet also, das zweimalige Ableiten des Biegemoments ergibt die negative vertikale Streckenlast $-q$.