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Technische Mechanik 3: Dynamik - Beispiel: Abhängigkeit vom Ort

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Beispiel: Abhängigkeit vom Ort

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Beispiel: Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEs werden Tennisbälle aus der Ruhelage beschleunigt. Die Beschleunigung nimmt entlang des Abschussrohres linear ab. Zu Beginn ($x = 0$) ist die Beschleunigung $a_0$. Am Ende ($x = L$) ist die Beschleunigung $a(x = L) = \frac{1}{2} a_0$. Das Rohr hat die Länge $L$. Wie groß ist die Geschwindigkeit $v$ am Ende des Abschussrohres?

Es handelt sich hierbei um eine Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort: $a(x)$. Es handelt sich hierbei um eine linear Abnahme, man kann sich das grafisch folgendermaßen vorstellen:

Beschleunigung in Abhängigkeit vom Ort Beispiel

Die allgemeine Geradengleichung gilt mit: $f(x) = mx+b$. In diesem Fall nun: $a(x) = mx + b$

$m$ ist die Steigung, in diesem Fall $m = -\frac{1}{2} \frac{a_0}{L}$

$b$ ist der Schnittpunkt auf der $y$-Achse, in diesem Fall auf der $a$-Achse mit $b = a_0$.

Es ergibt sich demnach:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a(x) = -\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0$

Die Beschleunigung wird allgemein bestimmt durch:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a = \frac{dv}{dt}$

Da nun die Beschleunigung vom Ort abhängt, muss das ganze noch um $dx$ erweitert werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a = \frac{dv}{dt} \frac{dx}{dx}$

Umstellen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} v$

Trennung der Variablen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a \; dx = v \; dv$

Einsetzen von $a(x) = -\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$(-\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = v \; dv$

Integral bilden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\int_0^L (-\frac{1}{2} \frac{a_0}{L} x + a_0) \; dx = \int_0^v v \; dv$

Integrieren:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ [-\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} x^2 + a_0 \; x]_0^L = [\frac{1}{2} v^2]_0^v $

Schranken einsetzen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ -\frac{1}{4} \frac{a_0}{L} L^2 + a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$

Kürzen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\frac{3}{4} a_0 \; L = \frac{1}{2} v^2$

Nach $v$ auflösen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$v = \sqrt{\frac{3}{2} a_0 \; L}$

Angenommen das Abschussrohr sei 3 m lang und die Anfangsbeschleunigung betrage $2 \frac{m}{s^2}$, so ergibt sich eine Geschwindigkeit am Ende des Abschussrohres von:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$v = 3 \frac{m}{s}$

Videos: Aus einem v-x-Diagramm ein a-x-Diagramm aufstellen!

Video: Beispiel: Abhängigkeit vom Ort

Video: Beispiel: Abhängigkeit vom Ort

Video: Beispiel: Abhängigkeit vom Ort

Video: Beispiel: Abhängigkeit vom Ort