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Technische Mechanik 1: Statik - Beispiel: Kippender Stuhl

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Technische Mechanik 1: Statik

Beispiel: Kippender Stuhl

Beispiel

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Gegeben sei die obige Grafik, in welcher ein Student auf seinem Stuhl hin und her kippt. Im Punkt $A$ ist das Stuhlbein zweiwertig abgestützt, in Punkt $C$ stützt sich der Student mit beiden Händen in horizontaler Richtung ab (einwertig). Der Stuhl besitzt zwei hintere Stuhlbeine, wobei die Kraft des Studenten $F_S = 800 N$ gleichmäßig auf die beiden Stuhlbeine aufgeteilt sein soll. Das Gewicht des Stuhls soll vernachlässigt werden. Es soll nun für das eine sichtbare rote gekippte Stuhlbein (um 12°) die Schnittgrößen Normalkraft, Querkraft und Biegemoment bestimmet werden.

Bestimmung der Lagerkräfte

Zur Bestimmung der Lagerkräfte werden die Gleichgewichtsbedingungen in der Eben herangezogen. Da im Punkt $A$ eine zweiwertige Lagerung stattfindet, existiert eine vertikale Lagerkraft $A_y$ und eine horizontale Lagerkraft $A_x$. Im Punkt $C$ stützt sich der Student horizontal ab, es existiert eine horizontale Lagerkraft. Der folgende Freischnitt zeigt die gesamte Problematik:

Es können nun die Lagerkräfte bestimmt werden. Dazu werden zunächst beide hinteren Stuhlbeine betrachtet, da die Gewichtskraft des Studenten sich auf beide hinteren Stuhlbeine und auf die beiden Hände verteilt:

$\uparrow : A_{y;ges} - 800N = 0$

$A_{y;ges} = 800N$

$\rightarrow : A_x - C = 0$

$A_{x;ges} = C$

$\curvearrowleft{A} : C_{ges} \cdot 90 cm - 800 N \cdot 200 mm = 0$

Umrechnung: $200 mm = 20 cm$

$C_{ges} = 177,78 N$.

Einsetzen in die horizontale Gleichgewichtsbedinung $\rightarrow$:

$A_{x;ges} = C_{ges} = 177,78 N$.

Die Brechnung erfolgt nun für beide hinteren Stuhlbeine und für die Abstützung beider Hände. Es soll aber nur die Ebene betrachtet werden, also die Draufsicht. Hier ist nur ein hinteres Stuhlbein zu betrachten und eine Hand. Da die Gewichtskraft gleichmäßig verteilt ist kann man die berechneten Kräfte einfach durch zwei teilen:

$A_{y} = 400N$

$A_{x} = 88,89 N$

$C = 88,98 N$.

Im Weiteren sollen die Schnittgrößen für das rot gekennzeichnete Stuhlbein bestimmt werden.

Querkraft bestimmen

Es soll als nächstes die Querkraft bestimmt werden, welche parallel zur Schnittfläche liegt:

Es muss nun mittels der Gleichgewichtsbedingung die Querkraft bestimmt werden. Hierfür verwendet man die Richtung der Querkraft und legt $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in diese Richtung:

$\nearrow : Q + A_x \cdot \cos (12°) + A_y \cdot \sin(12°) = 0$

$Q = -88,89 N \cdot \cos(12°) - 400 N \cdot \sin(12°) $

Methode

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$Q = -170,11 N$

Normalkraft bestimmen

Als nächstes soll die Normalkraft bestimmt werden. Diese steht immer senkrecht (im 90°-Winkel) auf der Schnittfläche. Man legt nun wieder die Kräfte $A_y$ und $A_x$ mit ihren Anteilen in Richtung der Normalkraft:

$\nwarrow : N + A_y \cdot \cos(12°) - A_x \cdot \sin(12°) = 0$

$N = -400 N\cdot \cos(12°) + 88,89 N \cdot \sin(12°) $

Methode

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$N = -372,78 N$

Biegemoment bestimmen

Das Biegemoment ist immer abhängig davon, wo genau der Schnitt durchgeführt wird. In diesem Beispiel soll der Biegemomentverlauf berechnet werden, d.h. in Abhängigkeit davon, wo der Schnitt durchgeführt wird. Hierzu wird $s$ als Weg vom Lager $A$ zum Schnitt festgelegt:

Es müssen die Hebelarme von $A_x$ und $A_y$ hin zum Schnitt bestimmt werden. Der Schnitt ist bei $s$ gesetzt worden. Wenn man sich nun das rechte Dreieck betrachtet, so kann man ganz einfach mittels Winkelberechnungen im Dreieck die beiden Hebelarme bestimmen. Das Biegemoment ergibt sich dann:

$\curvearrowleft : M + A_x \cdot \sin(78°) \cdot s + A_y \cdot \cos(78°) \cdot s = 0$

$M = -88,89 N \cdot \sin(78°) \cdot s - 400 N \cdot \cos(78°) \cdot s$

Methode

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$M = -170,11 N \cdot s$

Zusammenfassung

Die Querkraft ist im betrachteten Stuhlbein konstant, da keine weiteren Kräfte angreifen und auch keine Gelenke oder ähnliches vorhanden sind. Würde z.B. noch eine weitere Kraft angreifen, so müsste man einen Schnitt vor Krafteinwirkung und einen nach Krafteinwirkung durchführen, um den Querkraftverlauf zu bestimmen. Im obigen Beispiel reicht aber ein Schnitt um den Querkraftverlauf zu bestimmen.

Die Normalkraft ist ebenfalls konstant, da keine weitere Kraft angreift bzw. keine Gelenke oder ähnliches gegeben sind. Auch hier ist Durchführung von nur einem Schnitt notwendig.

Das Biegemoment ist in jedem Punkt unterschiedlich. Das liegt daran, dass der Hebelarm für $A_x$ und $A_y$ sich ändert, wenn z.B. der Schnitt bei $s = 10 cm$ oder $s = 40 cm$ durchgeführt wird dann:

$M = -170,11 N * 10 cm = -1.701,1 Ncm$

$M = -170,11 N * 40 cm = -6.804,4 Ncm$

Grund dafür ist der Abstand $s$, welcher bei der Berechnung des Hebelarms für $A_x$ und $A_y$ berücksichtigt wird. Je größer der Abstand $s$ desto größer der Hebelarm von $A_x$ und $A_y$ desto größer das Moment.