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Elektrotechnik - Knotensatz, 1. Kirchhoffsches Gesetz

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Elektrotechnik

Knotensatz, 1. Kirchhoffsches Gesetz

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Nachdem Sie mit den grundlegenden Bestandteilen für die Berechnung eines GleichStromnetzes vertraut sind, kommen wir nun zu den Kirchhoff'schen Gesetzen. 

Das 1. Kirchhoff'sche Gesetz bezieht sich auf die Handhabung von Strömen in Knoten und heißt entsprechend KnotensatzZiel ist es eine Strombilanz für einen Netzwerkknoten aufzustellen. 

Gesamtladung

Die Gesamtladung jedes Knotens im Netzwerk ist zeitinvariant wie alle Größen in Gleichstromnetzwerken. Das bedeutet, dass die Ladungen, die durch die $ p $ Ströme zu einem Knoten hin transportiert werden, auch durch andere $ q $ Ströme abtransportiert werden müssen. Daraus ergibt sich für jeden Knoten die Regel:

Merke

Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Formal lässt sich dies beschreiben durch:

Methode

$\sum_{\mu = 1}^{p} I_{zu,\mu} = \sum_{\nu = 1}^{q} I_{ab,\nu} $

Es empfiehlt sich alle zufließenden Ströme mit einem positiven Vorzeichen und alle abfließenden Ströme mit einem negativen Vorzeichen zu versehen. Dabei muss die Summe der Ströme aller Zweige $ n $ im Knoten gleich null sein. 

Methode

$\sum_{\nu = 1}^{n} I_\nu = 0 $

In der nächsten Abbildung ist ein solcher Knoten mit sechs Zweigen [inkl. Strömen] dargestellt. 

Netzwerkknoten mit Stromzählpfeilen
Netzwerkknoten mit Stromzählpfeilen

Nehmen wir nun diesen Knoten und stellen die Gleichung für die Gesamtladung auf. Wir erhalten unter der Annahme, dass alle Ströme, die zum Knoten zeigen negativ gewertet werden und alle Ströme, die vom Knoten weg zeigen positiv gewertet werden, folgende Gleichung:

Methode

$ - I_1 - I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6 = 0 $

Wählt man dagegen eine umgekehrte Betrachtung der Ströme, so ändert sich die Gleichung zu:

Methode

$ I_1 + I_2 - I_3 - I_4 - I_5 - I_6 = 0 $

Bezieht man diese beiden Gleichungen auf den Knotensatz, so wird aus

$\sum_{\mu = 1}^{p} I_{zu,\mu} = \sum_{\nu = 1}^{q} I_{ab,\nu} $ 

$\Longrightarrow $

Methode

$ I_1 + I_2 = I_3 + I_4 + I_5 + I_6$

Unabhängig davon, welche der drei Gleichungen Sie auswählen: Jede Gleichung enthält dieselbe Aussage.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Die Ströme für die obige Abbildung seien $ I_1 = 3 A, \ \  I_2 = -2 A, \ \  I_3 = 5 A, \ \  I_4 = 2 A $ und $ I_6 = - 7 A $. Mit Hilfe dieser Werte soll nun der unbekannte Wert für den Strom $ I_5 $ bestimmt werden.

Dazu lösen wir eine der Gleichungen nach $ I_5 $ auf:

$ I_5 = - I_3 - I_4 - I_6 + I_1 + I_2 = - 5A - 2A - (- 7A) + 3 A + ( -2) = 1A $

Der Strom $ I_5 $ beträgt 1 Ampere.   

Video: Knotensatz, 1. Kirchhoffsches Gesetz

Nun kommen wir zu den Kirchhoff'schen Gesetzen. Das 1. Kirchhoff'sche Gesetz bezieht sich auf die Handhabung von Strömen in Knoten und heißt Knotensatz.