ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Produktion
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen:

Input-Output-Systeme

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Input-Output-Systeme unterscheiden sich von Leontief-Produktionsfunktionen in ihrem Detaillierungsgrad. Es geht jetzt nicht mehr nur darum,  Beziehungen zwischen Faktoreinsatz und Ausbringung für ein System von Produktionsstellen herzustellen, sondern für jede Produktionsstelle den jeweiligen Input und Output zu berechnen. Verallgemeinernd lässt sich sagen, dass Input-Output-Systeme Systeme "lokaler Leontief-Produktionsfunktionen" sind.

Ein wichtiger Vertreter im Rahmen von Input-Output-Systemen ist die Stücklistenauflösung.  

Bekanntlich werden Enderzeugnisse bevor sie auf dem Absatzmarkt angeboten werden, nicht direkt in einem Vorgang gefertigt, sondern durchlaufen mehrere Stufen. Zuerst werden die Produktteile gefertigt, welche anschließend in Baugruppen zusammen gefügt werden. Diese wiederum werden in der Endmontage zum fertigen Enderzeugnis zusammengesetzt. 

Gozintograph

Um diesen Vorgang bildlich nachvollziehen zu können, verwendet man einen Gozintographen. 

Gozintograph
Gozintograph

Wie aus dem obigen Bild ersichtlich ist, werden Produkte [in diesem Fall sechs], als Knoten dargestellt. Die zwischen Ihnen bestehenden Materialströme werden durch Pfeile beschrieben. Die Pfeile sind mit Zahlen versehen, die Auskunft über die Stückhöhe, des in den nächsten Arbeitsvorgang eingehenden Vorprodukts geben. 

Diese Zahlen nennt man auch Stücklisten- oder Inputkoeffizienten $ s_{ij} $ und die dazu gehörige Matrix $ S = (s_{ij})_{6x6} $ Stücklisten- oder Direktbedarfsmatrix:

$S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

(Matrix lesen: 1. Zeile ($y_1$): 6 Einheiten von $y_1$ gehen in $y_5$ ein.)

Im unteren Teil der Knoten sind Outputmengen eingetragen, die als Erzeugnisse oder Baugruppen an den Absatzmarkt abzugeben sind. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Knoten 1,2 und 3 nicht an den Absatzmarkt verkauft werden, sondern die Inputfaktoren darstellen, die beschafft werden müssen, um die Zwischenprodukte 4 und 5 herzustellen. Die Zwischenprodukte werden zum Teil an den Absatzmarkt verkauft (z.B. Zwischenprodukt 4 mit 20 Einheiten) und zum Teil für das Endprodukt benötigt (z.B. Zwischenprodukt 4 mit 2 Einheiten). Das Endprodukt wird dann am Absatzmarkt verkauft.

Stücklistenauflösung

Die Stücklistenauflösung hat nun die Aufgabe aus dem gegebenen Primärbedarf $ x_j ( j = 4, 5, 6) $ den gesamten Bruttobedarf $ y_i ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) $  zu berechnen. Dabei stellt der Bruttobedarf $ y_i $ die Summe aus dem Primärbedarf $ x_i $ und den durch den Primärbedarf höherer Stufen verursachten Sekundärbedarf $ s_i $ dar.

Formal: $ y_i = s_i + x_i $ mit $ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Die Berechnung des Bruttobedarf beginnt auf der untersten Stufe des Gozintographen und man erhält am Ende ein Gleichungssystem mit sechs Gleichungen.

(1) $ y_1 =               6y_5                   + 0 $

(2) $ y_2 =  y_4 +   3y_5                   + 0 $

(3) $ y_3 =  5y_4                                + 0 $

(4) $ y_4 =                       2y_6          + 20 $

(5) $ y_5 =                       2y_6          + 15 $

(6) $ y_6 =                                         +  50 $ 

Schreibt man diese Gleichungen als Matrizengleichung so erhält man

$\vec{y} = S\vec{y} + \vec{x} $

mit 

$\vec{y} : = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \end {array}\right) $, sowie $\vec{x} : = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 20 \\ 15 \\ 50 \end {array}\right) $.

Das Gesamtergebnis ergibt sich durch rückwärtiges einsetzen:

(6) $y_6^* = 50$

(5) $y_5^* = 2 y_6 + 15 = 2 \cdot 50 + 15 = 115$

(4) $y_4^* = 2 y_6 + 20 = 2 \cdot 50 + 20 = 120$

...

$\vec{y*} : = \left(\begin{array}{c} y_1^* \\ y_2^* \\ y_3^* \\ y_4^* \\ y_5^* \\ y_6^* \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c} 690 \\ 465 \\ 600 \\ 120 \\ 115 \\ 50 \end {array}\right) $

Von größtem Interesse sind die Werte $ y_1^*, y_2^*, y_3^*$. Denn diese geben die Verbrauchsfaktormengen  $ r_1 = y_1^*, r_2 = y_2^* $ und $ r_3 = y_3^* $ an, die zur Produktion der Verkaufsprodukte $ x_4 = 20, x_5 = 15 $ und $ x_6 = 50 $ notwendig sind.

Merke

Inputwerte $ (r_1, r_2, r_3) $ werden auch Einkaufsprogramm zum Produktionsprogramm $ (x_4, x_5, x_6) $ genannt, wobei $ \ y_4^* $ und $ y_5^* $  als Zwischenproduktmengen bezeichnet werden.

Leontief-Produktionsfunktion

Zur Ermittlung der direkten Beziehung zwischen Enderzeugnissen und Vorprodukten wird die Leontief-Produktionsfunktion aufgestellt. Hierzu setze man $x_4 = x_5 = 0$. (Das bedeutet, der Absatz der Baugruppen $y_4$ und $y_5$ wird nicht beachtet.)

Für die Enderzeugnisse gilt: $x_i \; \; ( i = 6)$

Für die Baugruppen gilt: $r_i \; \; ( i = 4,5)$

Für die Teile gilt: $r_i \; \; (i = 1,2,3)$

$r_1 = 6r_5$

$r_2 = r_4 + 3r_5$

$r_3 = 5r_4$

$r_4 = 2x_6$

$r_5 = 2x_6$

$r_1 = 6r_5 = 6(2x_6) = 12x_6$

$r_2 = r_4 + 3r_5 = 2x_6 + 3(2x_6) = 8x_6$

$r_3 = 5r_4 = 5(2x_6) = 10x_6$

Formal bedeutet das nun, dass zur Herstellung des Endprodukts 12 Einheiten von Rohstoff 1, 8 Einheiten von Rohstoff 2 und 10 Einheiten von Rohstoff 3 benötigt werden.

Multiple-Choice
Bitte die richtigen Aussagen auswählen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Input-Output-Systeme ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Produktion.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses ProduktionProduktion
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Produktion

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Produktion
    • Einleitung zu Kurs: Produktion
  • Produktionssysteme
    • Einleitung zu Produktionssysteme
    • Definition der Produktion
    • Fertigung und Herstellung als Teil der Produktion
    • Zusammenspiel mit anderen betrieblichen Bereichen
    • Einordnung der Industriebetriebe
    • Klassifizierung von Produktionstypen
      • Einleitung zu Klassifizierung von Produktionstypen
      • Anordnungstypen
      • Ablauftypen
      • Repititionstypen
      • Produktionsstrukturtyp
      • Auftragstypen der Produktion
      • Mischformen und Kombinationen
    • Planung und Organisation
      • Einleitung zu Planung und Organisation
      • Hierarchieebenen des Managements
      • Zielformulierung der Produktionsplanung
      • Produktionsplanung
        • Einleitung zu Produktionsplanung
        • Zeitbezug der Produktionsplanung
        • Aggregationsgrad
      • Produktionsorganisation
        • Einleitung zu Produktionsorganisation
        • Einliniensysteme
        • Mehrliniensysteme
  • Einführung in die Produktions- und Kostentheorie
    • Einleitung zu Einführung in die Produktions- und Kostentheorie
    • Produktionsfaktoren
    • Produktionsfunktionen
      • Grundgleichung der Produktionsfunktion
      • Grundlegende Eigenschaften
        • Einleitung zu Grundlegende Eigenschaften
        • Substitutionalität
        • Limitationalität
      • Produktionsfunktionstypen
        • Einleitung zu Produktionsfunktionstypen
        • Leontief-Produktionsfunktion
        • Input-Output-Systeme
        • Gutenberg-Produktionsfunktion
    • Kostenfunktionen
      • Einleitung zu Kostenfunktionen
      • Arten von Kostenfunktionen
      • Begriffe der Kostenrechnung
        • Fixe und variable Kosten
        • Gesamtkosten, Grenzkosten, Durchschnittskosten
        • Deckungsbeitrag
        • Gewinnschwelle / Break-Even
    • Minimalkostenkombination
  • Aggregierte Produktionsplanung
    • Einleitung zu Aggregierte Produktionsplanung
    • Einstufige Produktionsprogrammplanung
      • Einleitung zu Einstufige Produktionsprogrammplanung
      • Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung
        • Einleitung zu Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung
        • Einperiode Produktionsprogrammplanung (ein Engpass)
        • Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
      • Einstufige mehrperiodige Produktionsprogrammplanung
        • Einleitung zu Einstufige mehrperiodige Produktionsprogrammplanung
        • Prognosen zur Nachfrageentwicklung
          • Einleitung zu Prognosen zur Nachfrageentwicklung
          • Methode des gleitenden Durchschnitts
          • Exponentielle Glättung erster Ordnung
          • Exponentielle Glättung zweiter Ordnung
        • Kapazitätsabstimmung
          • Einleitung zu Kapazitätsabstimmung
          • Quantitative Kapazitätsabstimmung
          • Zeitliche Kapazitätsanpassung
        • Erzeugnislager
  • Materialbedarfsplanung
    • Einleitung zu Materialbedarfsplanung
    • Verbrauchsanalysen
      • Verbrauchswertanalyse (ABC-Analyse)
      • Verbrauchsverlaufanalyse (RSU-Analyse)
      • ABC/RSU-Analyse
    • Plangesteuerte Materialbedarfsplanung
    • Verbrauchsgesteuerte Materialbedarfsplanung
    • Losgrößenmodelle ohne Kapazitätsbeschränkungen
      • Einleitung zu Losgrößenmodelle ohne Kapazitätsbeschränkungen
      • Klassisches Losgrößenmodell
        • Einleitung zu Klassisches Losgrößenmodell
        • EOQ-Modell
      • Dynamisches Losgrößenmodell
        • Einleitung zu Dynamisches Losgrößenmodell
        • Wagner-Whitin-Verfahren
        • Silver-Meal-Verfahren
        • Verfahren nach Groff
      • Kostenausgleichsverfahren
  • Termin- und Kapazitätsplanung
    • Einleitung zu Termin- und Kapazitätsplanung
    • Durchlaufterminierung
    • Kapazitätsbelastungsausgleich
    • Auftragsfreigabe und Ablaufplanung
      • Einleitung zu Auftragsfreigabe und Ablaufplanung
      • Flow-Shop-Probleme
        • Einleitung zu Flow-Shop-Probleme
        • Johnson-Algorithmus
      • Job-Shop-Probleme
      • Produktionskontrolle
  • 75
  • 12
  • 148
  • 73
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Produktion

    Ein Kursnutzer am 12.02.2016:
    "Alle Super :) "

  • Gute Bewertung für Produktion

    Ein Kursnutzer am 15.03.2015:
    "Bis jetzt alles top erklärt."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen