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Produktion - Input-Output-Systeme

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Produktion

Input-Output-Systeme

Input-Output-Systeme unterscheiden sich von Leontief-Produktionsfunktionen in ihrem Detaillierungsgrad. Es geht jetzt nicht mehr nur darum,  Beziehungen zwischen Faktoreinsatz und Ausbringung für ein System von Produktionsstellen herzustellen, sondern für jede Produktionsstelle den jeweiligen Input und Output zu berechnen. Verallgemeinernd lässt sich sagen, dass Input-Output-Systeme Systeme "lokaler Leontief-Produktionsfunktionen" sind.

Ein wichtiger Vertreter im Rahmen von Input-Output-Systemen ist die Stücklistenauflösung.  

Bekanntlich werden Enderzeugnisse bevor sie auf dem Absatzmarkt angeboten werden, nicht direkt in einem Vorgang gefertigt, sondern durchlaufen mehrere Stufen. Zuerst werden die Produktteile gefertigt, welche anschließend in Baugruppen zusammen gefügt werden. Diese wiederum werden in der Endmontage zum fertigen Enderzeugnis zusammengesetzt. 

Gozintograph

Um diesen Vorgang bildlich nachvollziehen zu können, verwendet man einen Gozintographen. 

Gozintograph
Gozintograph

Wie aus dem obigen Bild ersichtlich ist, werden Produkte [in diesem Fall sechs], als Knoten dargestellt. Die zwischen Ihnen bestehenden Materialströme werden durch Pfeile beschrieben. Die Pfeile sind mit Zahlen versehen, die Auskunft über die Stückhöhe, des in den nächsten Arbeitsvorgang eingehenden Vorprodukts geben. 

Diese Zahlen nennt man auch Stücklisten- oder Inputkoeffizienten $ s_{ij} $ und die dazu gehörige Matrix $ S = (s_{ij})_{6x6} $ Stücklisten- oder Direktbedarfsmatrix:

$S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

(Matrix lesen: 1. Zeile ($y_1$): 6 Einheiten von $y_1$ gehen in $y_5$ ein.)

Im unteren Teil der Knoten sind Outputmengen eingetragen, die als Erzeugnisse oder Baugruppen an den Absatzmarkt abzugeben sind. Es ist deutlich zu erkennen, dass die Knoten 1,2 und 3 nicht an den Absatzmarkt verkauft werden, sondern die Inputfaktoren darstellen, die beschafft werden müssen, um die Zwischenprodukte 4 und 5 herzustellen. Die Zwischenprodukte werden zum Teil an den Absatzmarkt verkauft (z.B. Zwischenprodukt 4 mit 20 Einheiten) und zum Teil für das Endprodukt benötigt (z.B. Zwischenprodukt 4 mit 2 Einheiten). Das Endprodukt wird dann am Absatzmarkt verkauft.

Stücklistenauflösung

Die Stücklistenauflösung hat nun die Aufgabe aus dem gegebenen Primärbedarf $ x_j ( j = 4, 5, 6) $ den gesamten Bruttobedarf $ y_i ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) $  zu berechnen. Dabei stellt der Bruttobedarf $ y_i $ die Summe aus dem Primärbedarf $ x_i $ und den durch den Primärbedarf höherer Stufen verursachten Sekundärbedarf $ s_i $ dar.

Formal: $ y_i = s_i + x_i $ mit $ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Die Berechnung des Bruttobedarf beginnt auf der untersten Stufe des Gozintographen und man erhält am Ende ein Gleichungssystem mit sechs Gleichungen.

(1) $ y_1 =               6y_5                   + 0 $

(2) $ y_2 =  y_4 +   3y_5                   + 0 $

(3) $ y_3 =  5y_4                                + 0 $

(4) $ y_4 =                       2y_6          + 20 $

(5) $ y_5 =                       2y_6          + 15 $

(6) $ y_6 =                                         +  50 $ 

Schreibt man diese Gleichungen als Matrizengleichung so erhält man

$\vec{y} = S\vec{y} + \vec{x} $

mit 

$\vec{y} : = \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \end {array}\right) $, sowie $\vec{x} : = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 20 \\ 15 \\ 50 \end {array}\right) $.

Das Gesamtergebnis ergibt sich durch rückwärtiges einsetzen:

(6) $y_6^* = 50$

(5) $y_5^* = 2 y_6 + 15 = 2 \cdot 50 + 15 = 115$

(4) $y_4^* = 2 y_6 + 20 = 2 \cdot 50 + 20 = 120$

...

$\vec{y*} : = \left(\begin{array}{c} y_1^* \\ y_2^* \\ y_3^* \\ y_4^* \\ y_5^* \\ y_6^* \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c} 690 \\ 465 \\ 600 \\ 120 \\ 115 \\ 50 \end {array}\right) $

Von größtem Interesse sind die Werte $ y_1^*, y_2^*, y_3^*$. Denn diese geben die Verbrauchsfaktormengen  $ r_1 = y_1^*, r_2 = y_2^* $ und $ r_3 = y_3^* $ an, die zur Produktion der Verkaufsprodukte $ x_4 = 20, x_5 = 15 $ und $ x_6 = 50 $ notwendig sind.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Inputwerte $ (r_1, r_2, r_3) $ werden auch Einkaufsprogramm zum Produktionsprogramm $ (x_4, x_5, x_6) $ genannt, wobei $ \ y_4^* $ und $ y_5^* $  als Zwischenproduktmengen bezeichnet werden.

Leontief-Produktionsfunktion

Zur Ermittlung der direkten Beziehung zwischen Enderzeugnissen und Vorprodukten wird die Leontief-Produktionsfunktion aufgestellt. Hierzu setze man $x_4 = x_5 = 0$. (Das bedeutet, der Absatz der Baugruppen $y_4$ und $y_5$ wird nicht beachtet.)

Für die Enderzeugnisse gilt: $x_i \; \; ( i = 6)$

Für die Baugruppen gilt: $r_i \; \; ( i = 4,5)$

Für die Teile gilt: $r_i \; \; (i = 1,2,3)$

$r_1 = 6r_5$

$r_2 = r_4 + 3r_5$

$r_3 = 5r_4$

$r_4 = 2x_6$

$r_5 = 2x_6$

$r_1 = 6r_5 = 6(2x_6) = 12x_6$

$r_2 = r_4 + 3r_5 = 2x_6 + 3(2x_6) = 8x_6$

$r_3 = 5r_4 = 5(2x_6) = 10x_6$

Formal bedeutet das nun, dass zur Herstellung des Endprodukts 12 Einheiten von Rohstoff 1, 8 Einheiten von Rohstoff 2 und 10 Einheiten von Rohstoff 3 benötigt werden.