Inhaltsverzeichnis
Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung aus dem Kurs Baustatik 1 für deine Prüfung.
Methode
$F = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$
Methode
$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$
Methode
$M = F \cdot h$
Methode
$\sum F_{ix} = 0$
$\sum F_{iy} = 0$
$\sum M_i = 0$
Methode
$\sum F_{ix} = 0$ Bewegung in $x$-Richtung
$\sum F_{iy} = 0$ Bewegung in $y$-Richtung
$\sum F_{iy} = 0$ Bewegung in $z$-Richtung
$\sum M_{iz} = 0$ Drehung in der $x,y$-Ebene
$\sum M_{ix} = 0$ Drehung in der $y,z$-Ebene
$\sum M_{iy} = 0$ Drehung in der $x,z$-Ebene
Methode
$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$
$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$
Methode
$F_{A \to B} = -F_{B \to A}$
Methode
$f = 6 - r$ (Freiheitsgrade im Raum)
$f = 3 - r$ (Freiheitsgrade in der Ebene)
Statische Bestimmtheit
Methode
$f = a + z - 3n$
mit
$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen
$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)
$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)
Methode
$f = a + 3 (p - k) - r$
mit
$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen
$p$ Anzahl der Stabelemente zwischen den Knotenpunkten $k$
$k$ Anzahl der Knotenpunkte/Endpunkte (inkl. Auflagerknoten)
$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)
Methode
$f = a + z - 6n$
mit
$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen
$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)
$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)
Methode
$f = a + 6 (p - k) - r$
mit
$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen
$p$ Anzahl der Stabelemente
$k$ Anzahl der Knotenpunkte (inkl. Auflagerknoten)
$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)
Methode
$f = a + p - 2k$ ebene Fachwerke
$f = a + p - 3k$ räumliche Fachwerke
Methode
$f = 0$ statisch bestimmt
Methode
$f > 1$ statisch unbestimmt
Methode
$f < 1$ statisch unterbestimmt, kinematisch unbestimmt
Methode
$f = a + 3 ( p - k ) - r$
Methode
$f = a + z - 3n$
Methode
$\sum F_{ix} = 0$
$\sum F_{iy} = 0$
$\sum F_{iz} = 0$
$\sum M_{ix} = 0$
$\sum M_{iy} = 0$
$\sum M_{iz} = 0$
Methode
$\sum F_{ix} = 0$
$\sum F_{iy} = 0$
$\sum M_{iy} = 0$
Innere Kraftgrößen - Schnittgrößen
Methode
$N = \sigma_x \cdot A$
Methode
$N = \int_A \sigma_x \; dA$
Methode
$Q = \tau_{xy} \cdot A$
Methode
$Q = \int_A \tau_{xy} \; dA$
Methode
$M = z \cdot \sigma_x \cdot A$
Methode
$M = \int z \; \sigma_x \; dA$
Methode
$N = \int_A \sigma \; dA$
$Q = \int_A \tau \; dA$
$M = \int_A z \; \sigma \; dA$
Methode
$N = \sigma \cdot A$
$Q = \tau \cdot A$
$M = z \sigma \cdot A$
Methode
Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:
1. Freischnitt
2. Gegebenenfalls Kräftezerlegung durchführen
3. Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen
4. Schnitt(e) durch den Balken durchführen und Schnittgrößen abtragen (linkes oder rechtes Schnittufer).
5. Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
6. Sind dann die zulässigen Normalspannungen gegeben, so können aus den Schnittgrößen mittels der obigen Formel die tatsächlich auftretenden Spannungen berechnet und mit den zulässigen Spannungen verglichen werden.
Methode
Winkelberechnung:
$\sin \varphi = \varphi$
$\tan \varphi = \varphi$
$\cos \varphi = 1$
Verformungen
Methode
$N = \sigma \cdot A$
Methode
$\sigma = \frac{F}{A}$
mit
$\sigma$ Normalspannung, Einheit: $\frac{N}{m^2}$
$F$ Zugkraft (positiv) bzw. Druckkraft (negativ), Einheit: $N$
$A$ Querschnitt, Einheit: $m^2$
Methode
$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0} \cdot 100$
Methode
$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $
Methode
$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$ Längenänderung (örtliche Dehnung)
Methode
$\triangle l = \epsilon_0 \cdot l$
Methode
$\sigma = E \cdot \epsilon_N$
mit
$\sigma = \frac{F}{A}$
$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l}$
Methode
$\sigma = \frac{N}{A}$ $\Rightarrow \epsilon_N = \frac{N}{EA}$
Methode
$\epsilon_{th} = \alpha_{th}\; \triangle T $
mit
$\epsilon_{th} \rightarrow $ Thermische Dehnung
$\alpha_{th} \rightarrow $ Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]
$\triangle T \rightarrow $ Temperaturdifferenz in Bezug auf die Ausgangstemperatur $ T_0 $ in K
Methode
$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot \triangle T$
Methode
$\sigma = E(\epsilon - \alpha_{th} \cdot \triangle T) $
Methode
$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot T_0 $
Methode
$M(x) = const.$ $\rightarrow \; M'(x) = 0$
$M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$
Methode
$ N = 0 \; \rightarrow \; \int_A \sigma_x dA = 0 $
Methode
$ M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA $ Biegemoment
Methode
$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $
Methode
$ \epsilon_x = \frac{z}{p} $
Methode
Hookesches Gesetz: $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $
Lineare Spannungsverteilung: $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$
mit
$E$ = E-Modul, welches aus Tabellenwerken entnommen werden kann
Methode
$\kappa_T = \frac{\epsilon}{z} = \alpha_{th}\; \frac{\triangle T}{h} $
mit
$ \alpha_{th}$ Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]
$\triangle T = T_u - T_o$ in Kelvin (K)
$T_u$ untere Temperatur in K
Methode
$\kappa = \kappa_M + \kappa_T = \frac{M_y}{EI_{yy}} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$
Methode
$\gamma = w' + \varphi $
$\sigma_x = E \epsilon_x = E \varphi' z $ Normalspannung
$\tau = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $ Schubspannung
Methode
$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $
Methode
$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$
mit
$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.
$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.
$b(\eta)$ Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.
Differentialgleichungen
Methode
$ w'' = -\frac{M_y}{EI_y}$
mit
$\kappa = -w''$
Methode
$EIw''' = -Q(x)$
Methode
$EI w'''' = q(x)$
Methode
$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$
Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung $\tau = G \gamma $
Mittlere Gleitung $\gamma_m = \frac{Q}{G \kappa_s A} = \frac{Q}{G A_s}$
mit
$\kappa_s$ Schubfaktor
$A_s = \kappa_s \cdot A$ Schubfläche
Schubsteifigkeit $GA_s = G \cdot A \cdot \kappa_s$
Methode
$w'_S =\frac{Q}{GA_s}$
mit
$ Q$ =Querkraft
$ A_s = A \cdot \kappa_s$ = Schubfläche
$A$ Querschnittsfläche
$ \kappa_S$ Schubfaktor
Methode
$\varphi' = \vartheta = \frac{d\varphi}{dx} $
Methode
$\vartheta = \varphi' = \frac{M_T}{G I_P} $
mit
$M_T$ Torsionsmoment
$G$ Schubmodul
$I_P$ polares Flächenträgheitsmoment
Methode
$\tau(r) = \frac{M_T}{I_P} \cdot r $
Methode
$\rightarrow \varphi(x) = \varphi_0 + \vartheta \cdot x $
Methode
$\triangle \varphi = \frac{M_T \cdot l}{G \cdot I_P} $
Methode
$ I_P = \int_A r^2 dA = \int_{r=0}^r r^2 2\pi r \; dr = \frac{\pi r^4}{2} $
Formänderungsarbeit
Methode
$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos \sphericalangle (\vec{F}, \vec{s})$
mit
$F$ Kraftvektor
$s$ Wegvektor
Methode
$\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
Methode
$W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$
Methode
$W_{ver} = F_1 \cdot \delta_{12}$
Methode
$W_a = \Pi$
mit
$W_a$ äußere Formänderungsarbeit (Eigen- und Verschiebungsarbeit)
$\Pi$ Formänderungsenergie
Die innere gespeicherte Formänderungsenergie $\Pi$ entspricht der von den Molekularbindungen des Körpers geleisteten negativen inneren Formänderungsarbeit $W_i$:
$\Pi = -W_i$
und damit gilt:
$W_a = -W_i$ Äußere gleich innere Formänderungsarbeit
Methode
$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} $
$ + \frac{Q^2}{GA_s} $
$+ \frac{M_y^2}{EI_{yy}} $
$+ \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$
Prinzip der virtuellen Kräfte
Methode
$\overline{W}_a = - \overline{W}_i$
Methode
$-\overline{W}_i = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 $
$+ \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} $
$+ \frac{\overline{M} M }{EI} + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$
$+ \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}] dx$
Bei Fachwerken
$ -\overline{W}_i = \sum_i \frac{S_i \cdot \overline{S}_i \cdot l_i}{(EA)_i}$
Methode
$F = k_F \cdot w$
$F$ Federkraft
$k_F$ Federkonstante
$w$ Längenänderung der Feder
Methode
$M = k_M \cdot \varphi$
mit
$M$ Federmoment
$k_M$ Federkonstante der Drehfeder
$\varphi$ Verdrehwinkel
Methode
$\frac{\partial W_a}{\partial \delta_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \delta_i} = F_i$
$\frac{\partial W_a}{\partial \varphi_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$
Methode
$\frac{\partial W_a}{\partial F_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial F_i} = \delta_i$
$\frac{\partial W_a}{\partial M_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial M_i} = \varphi_i$
Innere negative Eigenarbeit
$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} + \frac{\kappa Q^2}{GA} + \frac{M_y^2}{EI_{yy}} + \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$
Methode
Die Vorgehensweise beim Satz von Castigliano ist wie folgt:
1. Freischneiden des Tragwerkes
2. Bestimmung der Lagerreaktionen
3. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe
4. Satz von Castigliano anwenden, um die unbekannte Kraft bzw. die unbekannte Verschiebung zu berechnen
Kraftgrößenverfahren - KGV
Methode
$f = a + z - 3n$
mit
$a$ : Anzahl der möglichen Auflagerkräfte
$z$ : Anzahl der möglichen Zwischenkräfte (Gelenkkräfte etc.)
$n$ Anzahl der starren Bauteile
Methode
$A_v = \frac{1}{2} kN$
$B_v = - \frac{1}{2} kN$
$B_h = 1 kN$
Methode
$\delta W_a = \delta W_i$
Hinweis
Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.
Jessica
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