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Baustatik 1

Formelsammlung

Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung aus dem Kurs Baustatik 1 für deine Prüfung.

Methode

Betrag der Kraft

$F = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$

Methode

Vektor des Drehmoments

$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$

Methode

Moment in der Ebene

$M = F \cdot h$

Methode

Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene

$\sum F_{ix} = 0$

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum M_i = 0$

Methode

Gleichgewichtsbedingungen im Raum

$\sum F_{ix} = 0$   Bewegung in $x$-Richtung

$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $y$-Richtung

$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $z$-Richtung

$\sum M_{iz} = 0$   Drehung in der $x,y$-Ebene

$\sum M_{ix} = 0$   Drehung in der $y,z$-Ebene

$\sum M_{iy} = 0$   Drehung in der $x,z$-Ebene

Methode

Rechtwinkliges Dreieck - Kraftkomponenten in der Ebene

$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$

$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$

Methode

Wechselwirkungsprinzip

$F_{A \to B} = -F_{B \to A}$

Methode

Lagerreaktionen - Freiheitsgrade

$f = 6 - r$                   (Freiheitsgrade im Raum)

$f = 3 - r$                   (Freiheitsgrade in der Ebene)

Statische Bestimmtheit

Methode

Abzählkriterium für ebene Stabtragwerke

$f = a + z - 3n$                                          

mit

$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen

$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)

$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)

Methode

Abzählkriterium für ebene Stabtragwerke (Alternative)

$f = a + 3 (p - k) - r$

mit

$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen

$p$ Anzahl der Stabelemente zwischen den Knotenpunkten $k$

$k$ Anzahl der Knotenpunkte/Endpunkte (inkl. Auflagerknoten)

$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)

Methode

Abzählkriterium für räumliche Stabtragwerke

$f = a + z - 6n$                                         

mit

$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen

$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)

$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)

Methode

Abzählkriterium für räumliche Stabtragwerke (Alternative)

$f = a + 6 (p - k) - r$

mit

$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen

$p$ Anzahl der Stabelemente

$k$ Anzahl der Knotenpunkte (inkl. Auflagerknoten)

$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)

Methode

Abzählkriterium für Fachwerke

$f = a + p - 2k$                        ebene Fachwerke

$f = a + p - 3k$                        räumliche Fachwerke

Methode

Statisch bestimmt

$f = 0$              statisch bestimmt

Methode

Statisch unbestimmt

$f > 1$              statisch unbestimmt

Methode

Statisch unterbestimmt, kinematisch

$f < 1$     statisch unterbestimmt, kinematisch unbestimmt

Methode

Abzählformel für ebene Stabtragwerke

$f = a + 3 ( p - k ) - r$

Methode

Abzählkriterium für ebene Stabtragwerke

$f = a + z - 3n$

Methode

Tragwerk im Gleichgewicht - Gleichgewichtsbedingungen

$\sum F_{ix} = 0$ 

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum F_{iz} = 0$

$\sum M_{ix} = 0$

$\sum M_{iy} = 0$

$\sum M_{iz} = 0$

Methode

Für die $x,y$-Ebene gilt:

$\sum F_{ix} = 0$

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum M_{iy} = 0$

Innere Kraftgrößen - Schnittgrößen

Methode

Normalkraft

$N = \sigma_x \cdot A$

Methode

Normalkraft bei veränderlichem Querschnitt

$N = \int_A \sigma_x \; dA$

Methode

Querkraft

$Q = \tau_{xy} \cdot A$

Methode

Querkraft bei veränderlichem Querschnitt

$Q = \int_A \tau_{xy} \; dA$

Methode

Biegemoment

$M = z \cdot \sigma_x \cdot A$

Methode

Biegemoment bei veränderlichem Querschnitt

$M = \int z \; \sigma_x \; dA$

Methode

Schnittgrößen 

$N = \int_A \sigma \; dA$

$Q = \int_A \tau \; dA$

$M = \int_A z \; \sigma \; dA$

Methode

Nicht veränderlichen Querschnitten, also bei konstanten Spannungen, vereinfachen sich die Formeln zu:

$N = \sigma \cdot A$

$Q = \tau \cdot A$

$M = z \sigma \cdot A$

Methode

Es werden die Schnittgrößen berechnet und daraus die Spannungen bestimmt

Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:

1. Freischnitt

2. Gegebenenfalls Kräftezerlegung durchführen

3. Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen

4. Schnitt(e) durch den Balken durchführen und Schnittgrößen abtragen (linkes oder rechtes Schnittufer).

5. Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.

6. Sind dann die zulässigen Normalspannungen gegeben, so können aus den Schnittgrößen mittels der obigen Formel die tatsächlich auftretenden Spannungen berechnet und mit den zulässigen Spannungen verglichen werden. 

Methode

Anwendung der Theorie I. Ordnung

Winkelberechnung: 

$\sin \varphi = \varphi$

$\tan \varphi = \varphi$

$\cos \varphi = 1$

Verformungen

Methode

Normalkraft

$N = \sigma \cdot A$ 

Methode

Normalspannung bei konstantem Querschnitt

$\sigma = \frac{F}{A}$                                      

mit

$\sigma$ Normalspannung, Einheit: $\frac{N}{m^2}$

$F$ Zugkraft (positiv) bzw. Druckkraft (negativ), Einheit: $N$

$A$ Querschnitt, Einheit: $m^2$

Methode

Konstante Dehnung in %

$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0} \cdot 100$

Methode

Örtliche Dehnung

$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $

Methode

Stabverlängerung - Örtliche Dehnung

$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$ Längenänderung (örtliche Dehnung)

Methode

Stabverlängerung - Konstante Dehnung

$\triangle l = \epsilon_0 \cdot l$

Methode

Hookesche Gesetz

$\sigma = E \cdot \epsilon_N$                         

mit

$\sigma = \frac{F}{A}$

$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l}$

Methode

konstante Spannungsverteilung im Querschnitt:

$\sigma = \frac{N}{A}$  $\Rightarrow \epsilon_N = \frac{N}{EA}$ 

Methode

Thermische Dehnung

$\epsilon_{th} = \alpha_{th}\; \triangle T $                              

mit

$\epsilon_{th} \rightarrow $ Thermische Dehnung

$\alpha_{th} \rightarrow $ Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]

$\triangle T \rightarrow $ Temperaturdifferenz in Bezug auf die Ausgangstemperatur $ T_0 $ in K

Methode

Gesamtdehnung

$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot \triangle T$

Methode

Spannung bei Wärmedehnungen

$\sigma = E(\epsilon - \alpha_{th} \cdot \triangle T) $ 

Methode

Elastizitätsgesetz

$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot T_0 $

Methode

Momente - Querkraft bei reiner Biegung

$M(x) = const.$   $\rightarrow \; M'(x) = 0$

$M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$

Methode

Normalkraft - Balkenelement

$ N = 0 \; \rightarrow \; \int_A \sigma_x dA = 0 $

Methode

Biegemoment - Balkenelement

$ M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA $ Biegemoment

Methode

Krümmung - Spannung und Dehnung bei reiner Biegung

$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $

Methode

Lineare Dehnungsverteilung

$ \epsilon_x = \frac{z}{p} $

Methode

Lineare Spannungsverteilung

Hookesches Gesetz: $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $ 

Lineare Spannungsverteilung: $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$           

mit

$E$ = E-Modul, welches aus Tabellenwerken entnommen werden kann

Methode

Krümmung infolge Temperaturänderung

$\kappa_T = \frac{\epsilon}{z} = \alpha_{th}\; \frac{\triangle T}{h} $       

mit

$ \alpha_{th}$  Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]

$\triangle T = T_u - T_o$ in Kelvin (K)

$T_u$ untere Temperatur in K

Methode

Gesamte Krümmung

$\kappa = \kappa_M + \kappa_T = \frac{M_y}{EI_{yy}} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$

Methode

Schubverformung

$\gamma = w' + \varphi $

$\sigma_x = E \epsilon_x = E \varphi' z $                                           Normalspannung

$\tau = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $                                       Schubspannung

Methode

Normalspannung bei einachsiger Querkraftbiegung

$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $ 

Methode

Schubspannungen

$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$

mit
$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.
$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.
$b(\eta)$ Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.

Differentialgleichungen

Methode

Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung 

$ w'' = -\frac{M_y}{EI_y}$             

mit

$\kappa = -w''$

Methode

Differentialgleichung der Biegelinie 3. Ordnung 

$EIw''' = -Q(x)$ 

Methode

Differentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung

$EI w'''' = q(x)$

Methode

Differentialgleichung der Biegelinie (reiner Biegeanteil)

 $w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ 

Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung $\tau = G \gamma $ 

Mittlere Gleitung $\gamma_m = \frac{Q}{G \kappa_s A} = \frac{Q}{G A_s}$

mit
$\kappa_s$ Schubfaktor
$A_s = \kappa_s \cdot A$ Schubfläche

Schubsteifigkeit $GA_s = G \cdot A \cdot \kappa_s$

Methode

Differentialgleichung der Biegelinie 1. Ordnung infolge Schub

$w'_S =\frac{Q}{GA_s}$                          

mit
$ Q$ =Querkraft
$ A_s = A \cdot \kappa_s$ = Schubfläche
$A$ Querschnittsfläche
$ \kappa_S$ Schubfaktor

Methode

Verdrillung - Torsion 

$\varphi' = \vartheta = \frac{d\varphi}{dx} $ 

Methode

Verdrillung 

$\vartheta = \varphi' = \frac{M_T}{G I_P} $        

mit

$M_T$ Torsionsmoment
$G$ Schubmodul
$I_P$ polares Flächenträgheitsmoment

Methode

Schubspannungen infolge von Torsion

$\tau(r) = \frac{M_T}{I_P} \cdot r $ 

Methode

Verdrehung infolge von Torsion

$\rightarrow \varphi(x) = \varphi_0 + \vartheta \cdot x $ 

Methode

Endverdrehung bei konstanter Verdrillung

$\triangle \varphi = \frac{M_T \cdot l}{G \cdot I_P} $ 

Methode

Polares Flächenträgheitsmoment

$ I_P = \int_A r^2 dA = \int_{r=0}^r r^2 2\pi r \; dr = \frac{\pi r^4}{2} $ 

Formänderungsarbeit

Methode

Arbeit

$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos \sphericalangle (\vec{F}, \vec{s})$

mit

$F$ Kraftvektor
$s$ Wegvektor

Methode

Länge eines Vektors

$\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ 

Methode

Äußere Eigenarbeit

$W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$

Methode

Äußere Verschiebungsarbeit

$W_{ver} = F_1 \cdot \delta_{12}$

Methode

Die äußere Formänderungsarbeit $W_a$ entspricht der inneren Formänderungsenergie $\Pi$:

$W_a = \Pi$

mit
$W_a$ äußere Formänderungsarbeit (Eigen- und Verschiebungsarbeit)
$\Pi$ Formänderungsenergie

Die innere gespeicherte Formänderungsenergie $\Pi$ entspricht der von den Molekularbindungen des Körpers geleisteten negativen inneren Formänderungsarbeit $W_i$:

$\Pi = -W_i$
und damit gilt:

$W_a = -W_i$               Äußere gleich innere Formänderungsarbeit

Methode

Innere Eigenarbeit

$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} $

                  $ + \frac{Q^2}{GA_s} $

                  $+  \frac{M_y^2}{EI_{yy}}  $

                  $+ \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$

 Prinzip der virtuellen Kräfte

Methode

Virtuelle äußere Verschiebungsarbeit gleich der virtuellen inneren Verschiebungsarbeit:

$\overline{W}_a = - \overline{W}_i$

Methode

Innere Verschiebearbeit

$-\overline{W}_i = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 $

       $+ \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} $

       $+ \frac{\overline{M} M }{EI} + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$

       $+ \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}] dx$

Bei Fachwerken
$ -\overline{W}_i = \sum_i \frac{S_i \cdot \overline{S}_i \cdot l_i}{(EA)_i}$

Methode

Federkraft:

$F = k_F \cdot w$

$F$  Federkraft
$k_F$  Federkonstante
$w$  Längenänderung der Feder

Methode

Federmoment:

$M = k_M \cdot \varphi$

mit

$M$ Federmoment
$k_M$ Federkonstante der Drehfeder
$\varphi$ Verdrehwinkel

Methode

1. Satz von Castigliano

$\frac{\partial W_a}{\partial \delta_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \delta_i} = F_i$

$\frac{\partial W_a}{\partial \varphi_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$

Methode

2. Satz von Castigliano

$\frac{\partial W_a}{\partial F_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial F_i} = \delta_i$

$\frac{\partial W_a}{\partial M_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial M_i} = \varphi_i$

Innere negative Eigenarbeit

$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} + \frac{\kappa Q^2}{GA} + \frac{M_y^2}{EI_{yy}} + \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$

Methode

Satz von Castigliano - Vorgehensweise/Ablauf

Die Vorgehensweise beim Satz von Castigliano ist wie folgt:

1. Freischneiden des Tragwerkes
2. Bestimmung der Lagerreaktionen
3. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe
4. Satz von Castigliano anwenden, um die unbekannte Kraft bzw. die unbekannte Verschiebung zu berechnen

Kraftgrößenverfahren - KGV

Methode

Abzählkriterium

$f = a + z - 3n$                    

mit
$a$ : Anzahl der möglichen Auflagerkräfte
$z$ :  Anzahl der möglichen Zwischenkräfte (Gelenkkräfte etc.)
$n$ Anzahl der starren Bauteile

Methode

Auflagerkräfte des 1-Systems

$A_v = \frac{1}{2} kN$

$B_v = - \frac{1}{2} kN$

$B_h = 1 kN$

Methode

Arbeitssatz

$\delta W_a = \delta W_i$

Hinweis

Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Baustatik 1.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica