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Kursangebot | Baustatik 1 | Formelsammlung

Baustatik 1

Formelsammlung

Hier findest du eine umfangreiche Formelsammlung aus dem Kurs Baustatik 1 für deine Prüfung.

Methode

Hier klicken zum AusklappenBetrag der Kraft

$F = |\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenVektor des Drehmoments

$\vec{M} = \vec{F} \times \vec{r}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenMoment in der Ebene

$M = F \cdot h$

Methode

Hier klicken zum AusklappenGleichgewichtsbedingungen in der Ebene

$\sum F_{ix} = 0$

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum M_i = 0$

Methode

Hier klicken zum AusklappenGleichgewichtsbedingungen im Raum

$\sum F_{ix} = 0$   Bewegung in $x$-Richtung

$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $y$-Richtung

$\sum F_{iy} = 0$   Bewegung in $z$-Richtung

$\sum M_{iz} = 0$   Drehung in der $x,y$-Ebene

$\sum M_{ix} = 0$   Drehung in der $y,z$-Ebene

$\sum M_{iy} = 0$   Drehung in der $x,z$-Ebene

Methode

Hier klicken zum AusklappenRechtwinkliges Dreieck - Kraftkomponenten in der Ebene

$F_x = F \cdot \cos(\alpha)$

$F_y = F \cdot \sin(\alpha)$

Methode

Hier klicken zum AusklappenWechselwirkungsprinzip

$F_{A \to B} = -F_{B \to A}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenLagerreaktionen - Freiheitsgrade

$f = 6 - r$                   (Freiheitsgrade im Raum)

$f = 3 - r$                   (Freiheitsgrade in der Ebene)

Statische Bestimmtheit

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für ebene Stabtragwerke

$f = a + z - 3n$                                          

mit

$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen

$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)

$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für ebene Stabtragwerke (Alternative)

$f = a + 3 (p - k) - r$

mit

$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen

$p$ Anzahl der Stabelemente zwischen den Knotenpunkten $k$

$k$ Anzahl der Knotenpunkte/Endpunkte (inkl. Auflagerknoten)

$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für räumliche Stabtragwerke

$f = a + z - 6n$                                         

mit

$a$ Summe der möglichen Auflagerreaktionen

$z$ Anzahl der Zwischenreaktionen (z.B. Gelenkreaktionen)

$n$ Anzahl der Scheiben (Teilsysteme)

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für räumliche Stabtragwerke (Alternative)

$f = a + 6 (p - k) - r$

mit

$a$ Anzahl der möglichen Auflagerreaktionen

$p$ Anzahl der Stabelemente

$k$ Anzahl der Knotenpunkte (inkl. Auflagerknoten)

$r$ Anzahl Gelenke resp. Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten)

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für Fachwerke

$f = a + p - 2k$                        ebene Fachwerke

$f = a + p - 3k$                        räumliche Fachwerke

Methode

Hier klicken zum AusklappenStatisch bestimmt

$f = 0$              statisch bestimmt

Methode

Hier klicken zum AusklappenStatisch unbestimmt

$f > 1$              statisch unbestimmt

Methode

Hier klicken zum AusklappenStatisch unterbestimmt, kinematisch

$f < 1$     statisch unterbestimmt, kinematisch unbestimmt

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählformel für ebene Stabtragwerke

$f = a + 3 ( p - k ) - r$

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium für ebene Stabtragwerke

$f = a + z - 3n$

Methode

Hier klicken zum AusklappenTragwerk im Gleichgewicht - Gleichgewichtsbedingungen

$\sum F_{ix} = 0$ 

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum F_{iz} = 0$

$\sum M_{ix} = 0$

$\sum M_{iy} = 0$

$\sum M_{iz} = 0$

Methode

Hier klicken zum AusklappenFür die $x,y$-Ebene gilt:

$\sum F_{ix} = 0$

$\sum F_{iy} = 0$

$\sum M_{iy} = 0$

Innere Kraftgrößen - Schnittgrößen

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft

$N = \sigma_x \cdot A$

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft bei veränderlichem Querschnitt

$N = \int_A \sigma_x \; dA$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Querkraft

$Q = \tau_{xy} \cdot A$

Methode

Hier klicken zum AusklappenQuerkraft bei veränderlichem Querschnitt

$Q = \int_A \tau_{xy} \; dA$

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegemoment

$M = z \cdot \sigma_x \cdot A$

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegemoment bei veränderlichem Querschnitt

$M = \int z \; \sigma_x \; dA$

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchnittgrößen 

$N = \int_A \sigma \; dA$

$Q = \int_A \tau \; dA$

$M = \int_A z \; \sigma \; dA$

Methode

Hier klicken zum AusklappenNicht veränderlichen Querschnitten, also bei konstanten Spannungen, vereinfachen sich die Formeln zu:

$N = \sigma \cdot A$

$Q = \tau \cdot A$

$M = z \sigma \cdot A$

Methode

Hier klicken zum AusklappenEs werden die Schnittgrößen berechnet und daraus die Spannungen bestimmt

Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:

1. Freischnitt

2. Gegebenenfalls Kräftezerlegung durchführen

3. Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen

4. Schnitt(e) durch den Balken durchführen und Schnittgrößen abtragen (linkes oder rechtes Schnittufer).

5. Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.

6. Sind dann die zulässigen Normalspannungen gegeben, so können aus den Schnittgrößen mittels der obigen Formel die tatsächlich auftretenden Spannungen berechnet und mit den zulässigen Spannungen verglichen werden. 

Methode

Hier klicken zum AusklappenAnwendung der Theorie I. Ordnung

Winkelberechnung: 

$\sin \varphi = \varphi$

$\tan \varphi = \varphi$

$\cos \varphi = 1$

Verformungen

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft

$N = \sigma \cdot A$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalspannung bei konstantem Querschnitt

$\sigma = \frac{F}{A}$                                      

mit

$\sigma$ Normalspannung, Einheit: $\frac{N}{m^2}$

$F$ Zugkraft (positiv) bzw. Druckkraft (negativ), Einheit: $N$

$A$ Querschnitt, Einheit: $m^2$

Methode

Hier klicken zum AusklappenKonstante Dehnung in %

$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0} \cdot 100$

Methode

Hier klicken zum AusklappenÖrtliche Dehnung

$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenStabverlängerung - Örtliche Dehnung

$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$ Längenänderung (örtliche Dehnung)

Methode

Hier klicken zum AusklappenStabverlängerung - Konstante Dehnung

$\triangle l = \epsilon_0 \cdot l$

Methode

Hier klicken zum AusklappenHookesche Gesetz

$\sigma = E \cdot \epsilon_N$                         

mit

$\sigma = \frac{F}{A}$

$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l}$

Methode

Hier klicken zum Ausklappenkonstante Spannungsverteilung im Querschnitt:

$\sigma = \frac{N}{A}$  $\Rightarrow \epsilon_N = \frac{N}{EA}$ 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Thermische Dehnung

$\epsilon_{th} = \alpha_{th}\; \triangle T $                              

mit

$\epsilon_{th} \rightarrow $ Thermische Dehnung

$\alpha_{th} \rightarrow $ Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]

$\triangle T \rightarrow $ Temperaturdifferenz in Bezug auf die Ausgangstemperatur $ T_0 $ in K

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamtdehnung

$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot \triangle T$

Methode

Hier klicken zum AusklappenSpannung bei Wärmedehnungen

$\sigma = E(\epsilon - \alpha_{th} \cdot \triangle T) $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenElastizitätsgesetz

$\epsilon = \frac{\sigma}{E} + \alpha_{th} \cdot T_0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenMomente - Querkraft bei reiner Biegung

$M(x) = const.$   $\rightarrow \; M'(x) = 0$

$M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalkraft - Balkenelement

$ N = 0 \; \rightarrow \; \int_A \sigma_x dA = 0 $

Methode

Hier klicken zum AusklappenBiegemoment - Balkenelement

$ M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA $ Biegemoment

Methode

Hier klicken zum AusklappenKrümmung - Spannung und Dehnung bei reiner Biegung

$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLineare Dehnungsverteilung

$ \epsilon_x = \frac{z}{p} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenLineare Spannungsverteilung

Hookesches Gesetz: $\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $ 

Lineare Spannungsverteilung: $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$           

mit

$E$ = E-Modul, welches aus Tabellenwerken entnommen werden kann

Methode

Hier klicken zum AusklappenKrümmung infolge Temperaturänderung

$\kappa_T = \frac{\epsilon}{z} = \alpha_{th}\; \frac{\triangle T}{h} $       

mit

$ \alpha_{th}$  Thermischer Ausdehnungskoeffizient [in $\frac{1}{K}$]

$\triangle T = T_u - T_o$ in Kelvin (K)

$T_u$ untere Temperatur in K

Methode

Hier klicken zum AusklappenGesamte Krümmung

$\kappa = \kappa_M + \kappa_T = \frac{M_y}{EI_{yy}} + \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchubverformung

$\gamma = w' + \varphi $

$\sigma_x = E \epsilon_x = E \varphi' z $                                           Normalspannung

$\tau = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $                                       Schubspannung

Methode

Hier klicken zum AusklappenNormalspannung bei einachsiger Querkraftbiegung

$\sigma_x = \frac{M_y}{I_y} z $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchubspannungen

$\tau(z) = \frac{Q_z}{b{z} \cdot I_y} \int_z^{z_{max}} \eta b(\eta) d\eta$

mit
$Q(z)$ Querkraft, aus Schnitt am Bauteil ermittelt
$b(z)$ Breite des Balkens, für konstante Breite ergibt sich: $b = const$.
$I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der $y$-Achse
$\eta$ Hilfskoordinate, für die Integration von beliebigen $z$ zum unteren Rand des Querschnittsprofils $z_{max}$.
$b(\eta)$ Breite des Balkens von $z$ bis $z_{max}$.

Differentialgleichungen

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung 

$ w'' = -\frac{M_y}{EI_y}$             

mit

$\kappa = -w''$

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung der Biegelinie 3. Ordnung 

$EIw''' = -Q(x)$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung der Biegelinie 4. Ordnung

$EI w'''' = q(x)$

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung der Biegelinie (reiner Biegeanteil)

 $w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ 

Hookesche Gesetz der Schubbeanspruchung $\tau = G \gamma $ 

Mittlere Gleitung $\gamma_m = \frac{Q}{G \kappa_s A} = \frac{Q}{G A_s}$

mit
$\kappa_s$ Schubfaktor
$A_s = \kappa_s \cdot A$ Schubfläche

Schubsteifigkeit $GA_s = G \cdot A \cdot \kappa_s$

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferentialgleichung der Biegelinie 1. Ordnung infolge Schub

$w'_S =\frac{Q}{GA_s}$                          

mit
$ Q$ =Querkraft
$ A_s = A \cdot \kappa_s$ = Schubfläche
$A$ Querschnittsfläche
$ \kappa_S$ Schubfaktor

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerdrillung - Torsion 

$\varphi' = \vartheta = \frac{d\varphi}{dx} $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerdrillung 

$\vartheta = \varphi' = \frac{M_T}{G I_P} $        

mit

$M_T$ Torsionsmoment
$G$ Schubmodul
$I_P$ polares Flächenträgheitsmoment

Methode

Hier klicken zum AusklappenSchubspannungen infolge von Torsion

$\tau(r) = \frac{M_T}{I_P} \cdot r $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenVerdrehung infolge von Torsion

$\rightarrow \varphi(x) = \varphi_0 + \vartheta \cdot x $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenEndverdrehung bei konstanter Verdrillung

$\triangle \varphi = \frac{M_T \cdot l}{G \cdot I_P} $ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenPolares Flächenträgheitsmoment

$ I_P = \int_A r^2 dA = \int_{r=0}^r r^2 2\pi r \; dr = \frac{\pi r^4}{2} $ 

Formänderungsarbeit

Methode

Hier klicken zum AusklappenArbeit

$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cos \sphericalangle (\vec{F}, \vec{s})$

mit

$F$ Kraftvektor
$s$ Wegvektor

Methode

Hier klicken zum AusklappenLänge eines Vektors

$\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ 

Methode

Hier klicken zum AusklappenÄußere Eigenarbeit

$W_{eig} = \frac{1}{2} F \delta$

Methode

Hier klicken zum AusklappenÄußere Verschiebungsarbeit

$W_{ver} = F_1 \cdot \delta_{12}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenDie äußere Formänderungsarbeit $W_a$ entspricht der inneren Formänderungsenergie $\Pi$:

$W_a = \Pi$

mit
$W_a$ äußere Formänderungsarbeit (Eigen- und Verschiebungsarbeit)
$\Pi$ Formänderungsenergie

Die innere gespeicherte Formänderungsenergie $\Pi$ entspricht der von den Molekularbindungen des Körpers geleisteten negativen inneren Formänderungsarbeit $W_i$:

$\Pi = -W_i$
und damit gilt:

$W_a = -W_i$               Äußere gleich innere Formänderungsarbeit

Methode

Hier klicken zum AusklappenInnere Eigenarbeit

$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} $

                  $ + \frac{Q^2}{GA_s} $

                  $+  \frac{M_y^2}{EI_{yy}}  $

                  $+ \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$

 Prinzip der virtuellen Kräfte

Methode

Hier klicken zum AusklappenVirtuelle äußere Verschiebungsarbeit gleich der virtuellen inneren Verschiebungsarbeit:

$\overline{W}_a = - \overline{W}_i$

Methode

Hier klicken zum AusklappenInnere Verschiebearbeit

$-\overline{W}_i = \int [ \frac{\overline{N} N}{EA} + \overline{N} \alpha_{th} \cdot T_0 $

       $+ \frac{\overline{Q} Q}{GA_s} $

       $+ \frac{\overline{M} M }{EI} + \overline{M} \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h}$

       $+ \frac{\overline{M}_{T} M_{T}}{G I_P}] dx$

Bei Fachwerken
$ -\overline{W}_i = \sum_i \frac{S_i \cdot \overline{S}_i \cdot l_i}{(EA)_i}$

Methode

Hier klicken zum AusklappenFederkraft:

$F = k_F \cdot w$

$F$  Federkraft
$k_F$  Federkonstante
$w$  Längenänderung der Feder

Methode

Hier klicken zum AusklappenFedermoment:

$M = k_M \cdot \varphi$

mit

$M$ Federmoment
$k_M$ Federkonstante der Drehfeder
$\varphi$ Verdrehwinkel

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Satz von Castigliano

$\frac{\partial W_a}{\partial \delta_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \delta_i} = F_i$

$\frac{\partial W_a}{\partial \varphi_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial \varphi_i} = M_i$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen2. Satz von Castigliano

$\frac{\partial W_a}{\partial F_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial F_i} = \delta_i$

$\frac{\partial W_a}{\partial M_i} = - \frac{\partial W_i}{\partial M_i} = \varphi_i$

Innere negative Eigenarbeit

$-W_i = \frac{1}{2} \int [\frac{N^2}{EA} + \frac{\kappa Q^2}{GA} + \frac{M_y^2}{EI_{yy}} + \frac{M_T^2}{G I_P} ] dx$

Methode

Hier klicken zum AusklappenSatz von Castigliano - Vorgehensweise/Ablauf

Die Vorgehensweise beim Satz von Castigliano ist wie folgt:

1. Freischneiden des Tragwerkes
2. Bestimmung der Lagerreaktionen
3. Bestimmung der Schnittgrößenverläufe
4. Satz von Castigliano anwenden, um die unbekannte Kraft bzw. die unbekannte Verschiebung zu berechnen

Kraftgrößenverfahren - KGV

Methode

Hier klicken zum AusklappenAbzählkriterium

$f = a + z - 3n$                    

mit
$a$ : Anzahl der möglichen Auflagerkräfte
$z$ :  Anzahl der möglichen Zwischenkräfte (Gelenkkräfte etc.)
$n$ Anzahl der starren Bauteile

Methode

Hier klicken zum AusklappenAuflagerkräfte des 1-Systems

$A_v = \frac{1}{2} kN$

$B_v = - \frac{1}{2} kN$

$B_h = 1 kN$

Methode

Hier klicken zum AusklappenArbeitssatz

$\delta W_a = \delta W_i$

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Baustatik 1.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica