Querkraft aus Stabendmomenten - unbelasteter Stababschnitt

Wir benötigen für das Drehwinkelverfahren die Größe der Auflagerkräfte der Festhaltungen (=Festhaltekräfte), die bei Knotenverschiebungen anfallen und im 0-System sowie in den Einheitssystemen berücksichtigt werden müssen. Die Festhaltekräfte liegen an den Knoten, an denen die Festhaltungen gegen Verschieben angebracht sind.

In diesem Kurstext wollen wir uns anschauen, wie die Querkraft aus den Stabendmomenten für einen unbelasteten Stababschnitt bestimmt wird. Diese Querkraft benötigen wir, um die Festhaltekräfte der Festhaltung gegen Verschieben für Einheitssysteme ($j$-Systeme) bestimmen zu können.

Unbelasteter Stabschnitt

Unbelasteter Stabschnitt - Querkraft aus Stabendmomenten

Ist ein unbelasteter Stababschnitt gegeben, so ist der Momentenverlauf linear zwischen den Randwerten. Die Querkraft ist konstant, wenn ein linearen Momentenverlauf gegeben ist, denn $Q = M'$. Mittels der folgenden Gleichung kann die Querkraft für einen unbelasteten Stababschnitt berechnet werden:

Hierbei ist $M_{re}$ das Stabendmoment auf der rechten Seite des betrachteten Stababschnitts und $M_{li}$ das Stabendmoment auf der linken Seite des Stababschnitts.

Herleitung der Gleichung

Wir betrachten hierzu einen unbelasteten Stab der Länge $l$ und führen einen Schnitt unmittelbar am linken und um rechten Ende des Stabes durch und tragen die Schnittgrößen ab. Wir betrachten einmal auf der linken Seite das negative Schnittufer und auf der rechten Seite das positive Schnittufer. Am negativen Schnittufer zeigt die Querkraft nach oben und das Moment dreht mit dem Uhrzeigersinn, am positiven Schnittufer zeigt die Querkraft nach unten und das Moment dreht gegen den Uhrzerigersinn. 

Querkraft aus Momentengleichgewichtsbedingung

Zur Bestimmung der rechten Querkraft $Q_{re}$ legen wir den Bezugspunkt an das linke Ende. So fällt bei der Momentengleichgewichtsbedingung die linke Querkraft $Q_{li}$ aus der Berechnung raus, weil kein Hebelarm zum Bezugspunkt gegeben ist. Wir können dann aus den Stabendmomenten die rechte Querrkraft $Q_{re}$ berechnen. Wir legen die Vorzeichenkonvention für die Momentengleichgewichtsbedingung so fest, dass linksdrehende Momente positiv berücksichtigt werden:

$M_{re} - M_{li} - Q_{re} \cdot l = 0$

Auflösen nach $Q_{re}$:

$Q_{re} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l}$

Bei einem unbelasteten Stab gilt: $Q_{re} = Q_{li}$

Es ergibt sich also die obige Gleichung für $Q$:

$Q = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} $

Anwendung beim Drehwinkelverfahren

Beim Drehwinkelverfahren betrachten wir aber nicht das Schnittmoment sondern die gegebenen Stabendmomente. Die Drehrichtung der Stabendmomente am linken und rechten Schnitt ist aber nicht identisch mit der Drehrichtung der Schnittmomente. Wir müssen die obige Gleichung entsprechend der Drehrichtung der Stabendmomente anpassen.

So wird die Querkraft für die Stabendmomente infolge Knotenverdrehung/-verschiebung wie folgt bestimmt:

Hierbei handelt es sich also um die Querkraft eines unbelasteten Stabes. Stabendmomente für unbelastete Stäbe tritt für die Einheitssysteme auf. Dort sind die Stabendmomente infolge Knotenverdrehung bzw. Knotenverschiebung an unbelasteten Stäben gegeben. Die Stabendmomente infolge Knotenverdrehung/-verschiebung sind alle positiv, drehen also am linken und am rechten Schnitt mit dem Uhrzeigersinn:

Querkraft aus Stabendmomenten - unbelasteter Stab

In der obigen Grafik sind im unteren Teil die Schnittmomente und die oben im Text hergeleitete Gleichung angegeben. Da am rechten Schnitt das Stabendmoment genau entgegengesetzt dreht, muss hier das Vorzeichen geändert werden. Es resultiert also:

$Q = \frac{-M_{re} - M_{li}}{l}$

Nachdem wir die Querkraft berechnet haben, können wir das Knotengleichgewicht anwenden, um die an diesem Knoten angreifende Festhaltekraft zu berechnen:

Festhaltekraft aus Knotengleichgewicht

In der obigen Grafik ist beispielhaft ein Rahmentragwerk abgebildet, welches im oberen rechten Knoten eine Festhaltung gegen Verschieben aufweist. Wir bilden für diesen oberen rechten Knoten das Knotengleichgewicht (dadrüber) und tragen alle relevanten Schnittgrößen ab (nur die Schnittgrößen, die auch die Wirkrichtung der Festhaltung haben).

Betrachten wir nun den rechten Knoten und hier das Knotengleichgewicht und gehen von $N = 0$ aus, so ergibt sich:

$\sum M_b = 0:

$-Q - F^j = 0$

Setzen wir für $F$ die obige Gleichung ein so erhalten wir:

Diese Gleichung gilt nur, wenn die Normalkraft am Knoten Null ist!