Querkraft aus Stabendmomenten - belasteter Stababschnitt

In diesem Kurstext wollen wir uns anschauen, wie die Querkraft aus den Stabendmomenten für einen belasteten Stababschnitt bestimmt wird. Diese Querkraft benötigen wir, um die Festhaltekräfte der Festhaltung gegen Verschieben für das geometrisch bestimmte System (0-System) bestimmen zu können.

Stababschnitt mit Einzellast

 Wir betrachten zunächst eine mittig am Stab angreifende Einzellast:

Querkraft aus Schnittgrößen - Einzellast

Dazu betrachten wir wieder den Bezugspunkt am linken Stabende:

$-M_{li} + M_{re} - Q_{re} \cdot l - F \cdot \frac{l}{2} = 0$

Auflösen nach $Q_{re}$:

$Q_{re} \cdot l = M_{re} - M_{li} - F \cdot \frac{l}{2} $

Hier ist der Querkraftverlauf nicht mehr über den gesamten Stab konstant, sondern weist einen Sprung beim Kraftangriff $F$ auf. Demnach sind hier linke und rechte Querkraft voneinander zu unterscheiden. Die linke Querkraft ergibt sich aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

$\uparrow : Q_{li} - Q_{re} - F = 0$

 
Auflösen nach $Q_{li}$:

Einsetzen von $Q_{re}$:

$Q_{li} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} - F \cdot \frac{1}{2} + F $

Anwendung beim Drehwinkelverfahren

Auch hier muss die unterschiedliche Vorzeichenkonvention der Stabendmomente berücksichtigt werden, weshalb die Gleichung wie folgt angepasst werden muss:

Zu dieser Gleichung gelangen wir, wenn wir uns die Stabendmomente infolge einer mittig angreifenden Einzellast ansehen:

Querkraft aus Stabendmomenten - Einzellast

Die Drehrichtung der Stabendmomente ist der PDF Stabendmomente zu entnehmen. Da sich die Drehrichtung von der Drehrichtung der Schnittmomente an den jeweiligen Schnittufern unterscheiden, müssen wir hier auch die Querkraftrichtung an den Schnittufern anpassen. Mit Bezugspunkt bei $a$ erhalten wir dann aus der Momentengleichgewichtsbedingung die Querkraft $Q_b$:

$M_{li} - M_{re} + Q_{re} \cdot l - F \cdot \frac{l}{2} = 0$

Auflösen nach $Q_{re}$:

Die Stabendmomente sind bei dieser Berechnung bereits mit ihren Vorzeichen berücksichtigt. Es werden hier also die Beträge der Stabendmomente eingesetzt. Sind die Beträge der Stabendmomente am Knoten $a$ und am Knoten $b$ identisch, so erhalten wir für eine mittig angreifende Einzelkraft:

Stababschnitt mit Streckenlast

Wir betrachten als nächstes eine über den gesamten Stababschnitt wirkende Streckenlast $q$:

Querkraft aus Schnittgrößen - Streckenlast

Wir schneiden links und rechts vom Stab und tragen die Schnittgrößen am rechten und linken Schnittufer ab. Der linke Schnitt ist dabei das rechte Schnittufer und der rechte Schnitt das linke Schnittufer.

Wir stellen die Momentengleichgewichtsbedingung auf und legen den Bezugspunkt in den linken Schnitt:

$-M_{li} + M_{re} - Q_{re} \cdot l - R_q \cdot \frac{l}{2} = 0$

Auflösen nach $Q_{re}$:

$Q_{re} \cdot l = M_{re} - M_{li} - R_q \cdot \frac{l}{2}$                  | : l

$Q_{re} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} - R_q \cdot \frac{1}{2}$             |$R_q = q \cdot l$

Wir erhalten:

Anwendung beim Drehwinkelverfahren

Auch hier muss die Drehrichtung der Stabendmomente berücksichtigt werden, die am linken und rechten Schnitt genau entgegen zu den Schnittgrößen drehen:

Querkraft aus Stabendmomenten - Streckenlast

Wir erhalten mit der Momentengleichgewichtsbedingung in $a$:

$M_{li} - M_{re} + Q_{re} \cdot l - R_q \cdot \frac{l}{2} = 0$

Auflösen nach $Q_{re}$:

$Q_{re} \cdot l = M_{re} - M_{li} + R_q \cdot \frac{l}{2} $

$Q_{re} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} + \frac{1}{2} R_q  $                   |$R_q = q l$

Es ergibt sich:

Zusammenfassung der Gleichungen

Für das geometrisch bestimmte System (0-System) ist es notwendig die obigen beiden Formeln zur Bestimmung der Querkraft zu kennen, um die Festhaltekräfte bestimmen zu können. Diese treten immer dort auf, wo Festhaltungen gegen Verschieben angebracht sind. Wir fassen nochmal die wichtigsten Formeln zusammen:

Für eine am Stab mittig angreifende Einzelkraft wird die nach oben gerichtete rechte Querkraft berechnet zu:

Für eine am Stab angreifende rechteckige Streckenlast wird die nach oben gerichtete rechte Querkraft berechnet zu:

Für einen unbelasteten Stababschnitt wird die nach oben gerichtete rechte Querkraft berechnet zu:

Diese Gleichung ist notwendig für unbelastete Stababschnitte, die in den Einheitssystemen vorkommen. Demnach wird diese Gleichung herangezogen, um die Festhaltekräfte in den Einheitssystemen zu berechnen.

Anwendung der Gleichungen

Es müssen die Beträge der Stabendmomente eingesetzt werden. Für einen Stab der Länge $l$ mit wirkender Streckenlast ergeben sich zum Beispiel die folgenden Momente (siehe PDF Stabendmomente im Ordner Materialien):

$M_{li} = \frac{-ql^2}{12}$

$M_{re} = \frac{ql^2}{12}$

Wir setzen die Beträge zur Bestimmung der Querkraft ein:

$Q_{re} = \frac{M_{re} - M_{li}}{l} + \frac{1}{2} q \cdot l $

$Q_{re} = \frac{ql^2}{12} - \frac{ql^2}{12} + \frac{1}{2} q \cdot l $

Wichtig ist, dass diese Gleichungen zur Bestimmung der rechten nach oben gerichteten Querkraft für die in der PDF Stabendmomente angegebenen Drehrichtung der Stabendmomente aufgestellt wurden.