Anfangswertprobleme formulieren und lösen

Ein Anfangswertproblem liegt vor, wenn gefordert wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. 

Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form

$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $

Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.

Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form

$y(x) = y_0 +  \int f(t, y(t)) dt$

Die rechte Seite der Gleichung hängt erneut von y ab, hierdurch ist dieser Ansatz rein impliziter Natur. Im Allgemeinen lassen sich Anfangswertprobleme dieser Art durch Variation der Konstanten oder Trennung der Variablen lösen.

Ein Beispiel zur Trennung der Variablen:

Wir lösen die homogene Gleichung der DGL durch Trennung der Variablen über folgenden Ansatz:

$y' = -\frac{y}{x}$

In differentieller Schreibweise:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

$\frac{1}{y}dy = \frac{1}{x} dx \rightarrow \; \int \frac{1}{y}dy = \int \frac{1}{x} dx$

Nach Integrieren der Gleichung (natürlich auf beiden Seiten) erhalten wir:

$ln(|y|) = -ln(|x|)+c_0$ mit $c_0 ∈ R$

$y = exp(-ln(|x|)+c_0$

$y = exp(-ln(|x|) \cdot exp(c_0)$

$\rightarrow \; y_h = \frac{1}{x} \cdot c$ mit $c ∈ R$

Um die inhomogene Gleichung zu lösen, formuliert man die Konstante $c$ als eine Funktion von $x$:

$y = C(x) \cdot \frac{1}{x}$

Diesen Ausdruck leiten wir mittels Produktregel ab:

$y' = C(x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) + C'(x) \cdot \frac{1}{x}$

Nun kennen wir sowohl für $y$ als auch $y'$ und können beide in die ursprüngliche inhomogene Dgl. einsetzen und anschließend vereinfachen:

$y' = -\frac{y}{x} + 1$

$\rightarrow \; C(x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) + C'(x) \cdot \frac{1}{x} = C(x) \cdot \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x}) + 1$

$\rightarrow \; C(x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) + C'(x) \cdot \frac{1}{x} = C(x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) + 1$

$\rightarrow \; C'(x) \cdot \frac{1}{x} = 1$

$\rightarrow \; C'(x) = x$

Ausdruck nach $x$ integrieren:

$\rightarrow \; C(x) = \frac{1}{2} \cdot x^2 + c$ mit $c ∈ R$

Diesen Ausdruck können wir wieder oben für $C(x)$ einsetzen und erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

$y = C(x) \cdot \frac{1}{x}$

$= (\frac{1}{2} \cdot x^2 + c) \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{x}{2} \cdot \frac{c}{x}$

Zur Lösung des Anfangswertproblems, genauer gesagt zur Bestimmung der Konstanten ("klein") $c$ setzen wir einfach die Anfangswerte $x=2$ und $y=\frac{3}{2}$ ein:

$= \frac{3}{2} = \frac{2}{2}+\frac{c}{2}$

$\rightarrow \; c = 1$

Damit lautet die Lösung unseres Anfangswertproblems:

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}$

Leider ist es nicht immer so wie im obigen Beispiel, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt. Im folgenden wird der Satz von Picard-Lindelöf vorgestellt, welcher sich mit der Lösung von Anfangswertproblemen beschäftigt.