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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Anfangswertprobleme formulieren und lösen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Anfangswertprobleme formulieren und lösen

Ein Anfangswertproblem liegt vor, wenn gefordert wird, dass die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung durch einen festgelegten Punkt $ \ (x_0,y_0)$ verlaufen soll. Diese Bedingung ist neu, da bisher gefordert wurde, alle Lösungen der Differentialgleichung zu finden. 

Ein allgemeines Anfangswertproblem hat die Form

$\ y' = f(x,y), $ mit der Bedingung $ y(x_0) = y_0 $

Die Gerade soll also durch den gewählten Punkt verlaufen.

Die Lösung dieses Anfangswertproblems hat die Form

$y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei folgendes Anfangswertproblem: $\ y' = e^{2x-3}  , y(0) = (0) $

Funktion in Abhängigkeit von t schreiben:

$y' = e^{2t-3}$

Substitution (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):

$u(t) = {2t-3}$

$\frac{du}{dt} = 2 \; \rightarrow \; dt = \frac{1}{2} du$

Einsetzen in die Lösungsformel:

Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0$ 

$y(x) = 0 +  \int\limits_0^x e^u \frac{1}{2} du $

Integrieren:

$= \frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u du = \frac{1}{2} e^u$

Rücksubstitution und auflösen:

$y(x) = [\frac{1}{2} e^{2t-3}]_0^x = \frac{1}{2} e^{2x - 3} - \frac{1}{2} e^{-3} = \frac{1}{2} (e^{2x - 3} - e^{-3})$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben sei das Anfangswertproblem $y´ - x e^{-x^2} = 0, \ y(0) = 0$.

Funktion in Abhängigkeit von t schreiben:

$y´ = t e^{-t^2}$

Substitution (Vereinfachung für die Integration einer e-Funktion):

$u(t) = -t^2$

$\frac{du}{dt} = -2t \; \rightarrow \; dt = -\frac{1}{2t} du$

Einsetzen in die Lösungsformel:

Allgemein: $y(x) = y_0 +  \int\limits_{x_0}^x f(t) dt$   mit   $y(x_0) = y_0 $

$y(x) = 0 +  \int\limits_0^x t e^u \cdot -\frac{1}{2t} du $          $t$ kürzt sich weg

$= 0 +  \int\limits_0^x e^u \cdot -\frac{1}{2} du $

Integrieren:

$= -\frac{1}{2} \int\limits_0^x e^u = -\frac{1}{2} e^u$

Rücksubstitution und auflösen

$= -\frac{1}{2} [e^{-t^2}]_0^x =  -\frac{1}{2} (e^{-x^2} - 1)$

Leider ist es nicht immer so wie im obigen Beispiel, dass das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung besitzt. Im folgenden wird der Satz von Picard-Lindelöf vorgestellt, welcher sich mit der Lösung von Anfangswertproblemen beschäftigt.