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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Der Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf kann in zwei Versionen betrachtet werden. Man unterscheidet die lokale von der globalen Version. Die Voraussetzung dieser Versionen ist immer die Stetigkeit der rechten Seite und das Bestehen einer Lipschitz-Bedingung. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Lipschitzbedingung (global)

$f$ genügt in $G \subseteq \mathbb{R}^2$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ mit $L \ge 0$:

$ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $    für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \in G$.

Oder:

Besitzt $f$ in $G$ eine beschränkte partielle Ableitung $f_y(x,y)$, so genügt $f$ in $G$ einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Lipschitzbedingung (lokal)

Besitzt $f$ in $G$ eine stetige partielle Ableitung $f_y (x,y)$, dann genügt $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.

Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!

Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$

$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $

$ | x^2 + y_1^2 - x^2 - y_2^2| \le L \cdot |y_1 - y_2| $                          $x^2$ fällt weg

$ | y_1^2 - y_2^2| \le L \cdot |y_1 - y_2| $

$ L \ge \frac{ | y_1^2 - y_2^2|}{|y_1 - y_2|} $

$ L \ge \frac{ | y_1 - y_2||y_1 + y_2 | }{|y_1 - y_2|} $                     $ |y_1 - y_2|$  kürzen

$ L \ge |y_1 + y_2 |$    

$L$ ist somit nicht auf $\mathbb{R}^2$ beschränkt (rechte Seite kann unendlich groß werden), deswegen genügt $f$ nicht global der Lipschitzbedingung.

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $f(x,y) = x + y$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!

Gesucht wird wieder ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$

$ | (x + y_1) - (x + y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $

$ | x + y_1 - x - y_2| \le L \cdot |y_1 - y_2| $

$ | y_1 - y_2| \le L \cdot |y_1 - y_2| $

$ L \ge \frac{| y_1 - y_2|}{ |y_1 - y_2| }$

$L = 1$

$L \ge 0$ und nach oben beschränkt, die Funktion genügt also global der Lipschitzbedingung.

Hier hätte man auch die partielle Ableitung $f_y (x,y) = 1$ bilden können und hätte direkt gesehen, dass diese beschränkt ist und die Funktion damit einer Lipschitzbedingung genügt.

Anwendungsbeispiele: Lokale Lipschitzbedingung

Beispiel

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Gegeben sei die obige Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. 

Es wurde bereits gezeigt, dass diese Funktion einer Lipschitzbedingung nicht global genügt. Genügt sie denn einer lokalen Lipschitzbedingung?

Dazu wird die partielle Ableitung der Funktion nach $y$ gebildet und geschaut, ob diese stetig ist (also keine Definitionslücken aufweist):

$f_y (x,y) = 2y$ ist auf $\mathbb{R}^2$ stetig (weist keine Definitionslücken auf). Damit ist die Funktion lokal Lipschitzstetig.

Lokaler Eindeutigkeitssatz

Der lokale Eindeutigkeitssatz besagt, dass jedes Anfangswertproblem zu einer Differentialgleichung der Form $\ y'(x) = f(x,y), y(a) = y_a $ unter Voraussetzung der Lipschitz-Bedingung innerhalb einer kleinen Umgebung von $ a $ eindeutig gelöst werden kann. Welche Größe diese Umgebung hat, ist von der rechten Seite von $ f(x,y)$ abhängig. 

Globaler Eindeutigkeitssatz

Der globale Eindeutigkeitssatz besagt, dass ein Anfangswertproblem, welches auf einem senkrechten Streifen $ (x,y) \in [a, e] x \mathbb{R}^n $ eine globale Lipschitzbedingung erfüllt , auf dem gesamten Intervall $ [a,e] $ eine eindeutige Lösung besitzt.