Bogenlänge im Raum

Es besteht die Möglichkeit eine Kurve, die in Parameterdarstellung $t$ gegeben ist, in eine Kurve mit Bogenlänge $s$ umzuwandeln. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.

Mit folgender Formel kann man zwischen der Parameterbelegung $t$ und der Bogenlänge $s$ wechseln:

$ ds = |\dot{\vec{r}}(t)| dt = \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt = s$

wobei $\vec{r} (t) $ die Raumkurve darstellt.

Anwendungsbeispiel

Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:

$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$

Ableitung bilden und Länge berechnen

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

$|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$

Bogenlänge berechnen

$s =  \int\limits_0^{t} \sqrt{2} dt = \sqrt{2} \cdot t$

$s = \sqrt{2} \cdot t \; \rightarrow \; t = \frac{s}{\sqrt{2}}$

Die Kurve in Bogenlänge

$t = \frac{s}{\sqrt{2}}$ einsetzen ergibt:

$\alpha (s) =   \begin{pmatrix} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ \frac{s}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \;   0 \le s \le 2\pi\sqrt{2}$.

Tangentenvektor in Bogenlänge

Die Formel ist:  $\vec{t} (s) = \dot{\vec{r}} (t)$

$\vec{t}(s) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Normalenvektor in Bogenlänge

Die Formel ist:  $\vec{n}(s) = \frac{\ddot{\vec{r}}(s)}{|\ddot{\vec{r}}(s)|}$

$\ddot{\alpha}(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{2} \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ 0 \end{pmatrix}$

$|\ddot{\alpha}(s)| = \sqrt{\frac{1}{4} \sin^2 (\frac{s}{\sqrt{2}})  + \frac{1}{4} \cos^2 (\frac{s}{\sqrt{2}}) + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$\vec{n}(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\frac{1}{2} \cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} - \sin (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ -\cos (\frac{s}{\sqrt{2}}) \\ 0 \end{pmatrix}$