Jetzt neu: Steuerrecht online lernen auf steuerkurse.de!
ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Formelsammlung

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Formelsammlung

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Formelsammlung

In diesem Kurstext findest du die Formelsammlung zu unserem Online-Kurs Höheren Mathematik 1.

1. Mengenlehre

Zahlenmengen

Bezeichnung

Zeichen

Beispiel     

Natürliche Zahlen 

$\mathbb{N}$    

$\mathbb{N} = \{1,2,3,...\}$ 

Ganze Zahlen

$\mathbb{Z}$ 

$\mathbb{Z} = \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$                

Positive ganze Zahlen

$\mathbb{Z}^+$

$\mathbb{Z}^+ = \{0,1,2,,...\}$      

Negative ganze Zahlen

$\mathbb{Z}^-$

$\mathbb{Z}^- = \{...,-3,-2,-1,0\}$      

Rationale Zahlen

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{Q} = \{\frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}\}$             

Reelle Zahlen

$\mathbb{R}$

$\mathbb{Q}$ + irrationale Zahlen z.B. $\pi$, $\sqrt{2}$...       

Unterscheidung von Mengen

Bezeichnung

Beispiel

Lösung

leere Menge

$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 5 = 0 \}$

$A = \{\emptyset\}$

nicht leere Menge

$A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 16 = 0 \}$

$A =  \{-4,4 \}$

endliche Menge

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 < 10\}$

$A = \{1,2,...,6 \}$

unendliche Menge

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 > 10\}$ 

$A = \{8,9,10,..., \infty\}$

abzählbare unendliche Menge

$A = \{ x \in \mathbb{N} | x + 3 > 3\}$ 

$A = \{4,5,6,..., \infty\}$

überabzählbare unendliche Menge  

$A = \{ x \in \mathbb{R} | 0 \le x \le 1\}$ 

alle reellen Zahlen zw. 0 und 1

Disjunkte Mengen

$A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 8, 9, 10\}$

keine gemeinsamen Elemente

Äquivalente Mengen

$A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 5, 6, 7\}$

Identische Elemente

Teilmenge

$A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 5, 6, 7\}$

$A \subseteq B$ 

echte Teilmenge

$A = \{5, 6, 7\}$ und $B = \{ 5, 6, 7, 8\}$

$A \subset B $ 

Mengenoperationen

Als Beispiel werden die Mengen $A = \{ 1, 2, 3, 5 \}$,$B  = \{ 2, 3, 4, 6, 7\}$ aufgeführt und die Obermenge $M = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

BezeichnungLösungVerbal


Vereinigung $\cup$

$A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$

Zusammenfassung aller Elemente
die in $A$ oder in $B$
oder in beiden vorkommen.


Durchschnitt $\cap$

$A \cap B = \{ 2,3 \}$

Zusammenfassung aller Elemente
die in $A$ UND $B$ vorkommen.



Differenz $\backslash$

$A \backslash B = \{ 1, 5 \}$


$B \backslash A = \{ 4, 6, 7 \}$

Zusammenfassung aller Elemente
die in $A$ aber nicht in $B$ vorkommen.

Zusammenfassung aller Elemente die
in $B$ aber nicht in $A$ vorkommen.




Komplementärmenge $\overline{}$


$\overline{A} = \{0,4,6,7,8,9,10\}$.


$\overline{B} = \{0,1,5,8,9,10\}$

Zusammenfassung aller Elemente aus
einer gegebenen Grundmenge $M$,
die nicht zur Menge $A$ gehören.

Zusammenfassung aller Elemente aus
einer gegebenen Grundmenge $M$,
die nicht zur Menge $B$ gehören.

Rechenregeln für Mengen

BezeichnungFormalVerbal


Kommutativgesetz

$A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

Argumente einer Operation können
vertauscht werden, ohne dass
sich am Ergebnis etwas ändert.

Gültig für: Vereinigung und Durchschnitt




Assoziativgesetz



$(A \cap B) \cap C = (B \cap C) \cap A = ...$

$(A \cup B) \cup C = (B \cup C) \cup A = ...$

Verkettung von mathematischen
Operationen können in jeder
beliebigen Reihenfolge durchgeführt
werden, ohne dass sich am
Ergebnis etwas ändert.

Gültig für: Vereinigung und Durchschnitt




Distributivgesetz

$A \cap (B \cup C) \leftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$A \cup (B \cap C) \leftrightarrow (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \backslash C) \leftrightarrow (A \cap B) \backslash (A \cap C)$

Vereinfachte Darstellung bei der
Verkettung von Operationen,
ohne dass sich am
Ergebnis etwas ändert. 

Gültig für: Vereinigung, Durchschnitt
und Differenz



Regeln von de Morgan


$\overline{(A \cup B)} \leftrightarrow \overline{A} \cap \overline{B}$


$\overline{A \cap B} \leftrightarrow \overline{A} \cup \overline{B}$

Regel die angewandt werden kann
um auch hier eine vereinfachte
Darstellung zu erhalten.

2. Reelle Zahlen

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ umfassen sowohl die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ (als Bruch darstellbar; endlich oder periodisch) , sowie die irrationalen Zahlen $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ (nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen). 

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind $\sqrt{2} = 1,4142...$ und die Kreiszahl $\pi = 3,1415...$ denn diese sind nicht als Bruch darstellbar und haben unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Hingegen ist $\frac{1}{3}$ als Bruch darstellbar und periodisch und gehört deswegen den rationalen Zahlen an.

Reelle Zahlen

$\mathbb{R}$= { x | x ist eine rationale oder irrationale Zahl}

Reelle Zahlen ohne Null

$\mathbb{R}^*$= { x | x $\not=$ 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}

Nicht negative reelle Zahlen

$\mathbb{R}_+$= { x | x  $\ge$ 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}

Positive reelle Zahlen

$\mathbb{R}^*_+$= { x | x > 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}

Nicht positive reelle Zahlen

$\mathbb{R}_-$= { x | $\le$ 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}

Negative reelle Zahlen

$\mathbb{R}^*_-$= { x | x < 0 und x $\in$ $\mathbb{R}$}

Ungleichungen

strikte Ungleichung

$x < y$, $x > <$

nicht strikte Ungleichung

$x \le y$, $x \ge y$

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

WICHTIG: Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um.

Einfache Ungleichungen

$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$:  Wie bei Gleichungen nach $x$ auflösen. Bei Multiplikation mit negativer Größe das Ungleichzeichen umdrehen. Ergebnis: $x \ge \frac{8}{5}$. Angabe der Lösungsmenge: $\{x \in \mathbb{R} | x \ge \frac{8}{5} \}$.

Bruchungleichungen

$\frac{3x + 1}{x - 2} < 2$

1. Zunächst wird der Nenner betrachtet. Da hier bei $x = 2$ dieser Null wird und durch Null nicht geteilt werden darf, muss hier $x = 2$ als Lösung ausgeschlossen werden: $\{x \in \mathbb{R} | x \neq 2 \}$

2. Es wird dann als nächstes alles auf eine Seite gebracht:

$\frac{3x + 1}{x - 2} - 2 < 0$

$\frac{3x + 1}{x - 2} - \frac{2}{1} < 0$

3. Und alles auf einen Nenner gebracht:

$\frac{(3x + 1) \cdot 1}{(x - 2) \cdot 1} - \frac{2(x - 2)}{1 \cdot (x - 2)} < 0$

$\frac{3x + 1 - 2(x - 2)}{(x - 2)} < 0$

$\frac{3x + 1 - 2x + 4}{(x - 2)} < 0$

$\frac{x + 5}{(x - 2)} < 0$

4. Fallunterscheidung vornehmen:

Da $x \neq 2$ muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Zum einen für $x < 2$ und zum anderen für $x > 2$.

Für den Fall, dass $x > 2$ in den Nenner eingesetzt wird, wird der Nenner positiv. 

Für den Fall, dass $x < 2$ in den Nenner eingesetzt wird, wird der Nenner negativ.

Es wird nun die obige Gleichung mit dem Nenner auf beiden Seiten multipliziert:

$\frac{x + 5}{(x - 2} < 0$        |$\cdot (x - 2)$

4a) Es wird nun zunächst die Lösungsmenge für $x > 2$ geprüft. Dort wurde der Nenner positiv. Hier wird wie bei den obigen Ungleichungen vorgegangen. Da mit einem positiven Wert multipliziert wird, bleibt die Ungleichung bestehen:

$x + 5 < 0$

$x < -5$

Diese Ungleichung ist für $x > 2$ nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 2 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -5. Diese Lösungsmenge ist leer.

4b) Als nächstes wird die Lösungsmenge für $x < 2$ geprüft. Hier wird der Nenner negativ. Es wird also mit einem negativen Wert multipliziert und demnach muss das Ungleichzeichen umgedreht werden:

$x + 5 > 0$

$x > -5$

Für $x < 2$ kann die Ungleichung erfüllt werden:

$\{x \in \mathbb{R} | -5 < x < 2 \}$

Betragsungleichungen

$4|3 - x| - |x + 5| \le 3$

1. Der Betragsterm $|3 - x|$ wechselt bei (auflösen nach $x$) $x = 3$ sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei $x > 3$ wird der Betragsterm negativ, wohingen bei $x < 3$ der Betragsterm positiv wird. 

2. Der Betragsterm $|x + 5|$ wechselt bei $x = -5$ sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei $x > -5$ der Betragsterm positiv wird und bei $x < -5$ negativ. 

3. Es werden nun die folgenden Fälle betrachtet:

1. Fall: $x < -5$, 2. Fall: $-5 \le x < 3$, 3. Fall: $x \ge 3$

4. Fallunterscheidung vornehmen:

4a) 1.Fall: $x < -5$

$4(3-x) - (-(x+5)) \le 3$

Bei $x < -5$ wird der 1 Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm negativ. (Ungleichheitszeichen muss bei der Umformung umgedreht werden).

$x \ge \frac{14}{3}$

Da für $x < -5$ die Ungleichung nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.

4b) 2. Fall: $-5 \le x < 3$

$4(3 - x) - (x + 5) \le 3$

Bei $-5 \le x < 3$ wird der 1 Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm positiv. (Ungleichheitszeichen muss bei der Umformung umgedreht werden).

$x \ge \frac{4}{5} = 0,8$

Unter der Voraussetzung $-5 \le x < 3$ erhält man als Teillösung:

$\{x \in \mathbb{R} | 0,8 \le x < 3 \}$

4c) 3. Fall: $x \ge 3$

$4 (-(3 - x)) - (x + 5) \le 3$

Bei $x \ge 3$ wird der 1 Betragsterm negativ und der 2. Betragsterm positiv. (Ungleichheitszeichen wird bei der Umformung nicht umgedreht).

$x \le \frac{20}{3}$

Es existiert auch hier eine Lösung, da $x \ge 3$ und $x \le \frac{20}{3} = 6,67$ eine Lösung angeben:

$\{x \in \mathbb{R} | 3 \le x \le 6,67 \}$

Intervalle

Bezeichnung

Beispiel

Beschreibung

Offenes Intervall

$(a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a < x < b \}$

Beinhaltet die Randpunkte $a$ und $b$ nicht.

Geschlossenes Intervall

$[a, b] := \{ x \in \mathbb{R} | a \le x \le b \}$

Beinhaltet die Randpunkt $a$ und $b$


Halboffenes Intervall 

$(a, b] := \{x \in \mathbb{R} | a < x \le b \}$

$[a, b) := \{x \in \mathbb{R} | a \le x < b \}$

Beinhaltet den Randpunkt $a$ nicht, aber den Randpunkt $b$.

Beinhaltet den Randpunkt $a$ aber nicht den Randpunkt $b$.



Unendliches Intervall

$(-\infty, b] := \{ x \in \mathbb{R} | x \le a \}$ 


$[a, \infty) := \{ x \in \mathbb{R} | x \ge b \}$ 

Analog dazu $(-\infty, b)$ und $(a, \infty)$. 

Geschlossene rechte Grenze und eine linke unendliche Grenze.

Geschlossene linke Grenze und eine rechte unendliche Grenze.

Supremum, Infimum, Maximimum, Minimum

Supremum ist die obere Schranke eines Intervalls. Es ist auch gleichzeitig das Maximum, wenn es sich um eine geschlossene rechte Grenze des Intervalls handelt.

Infimum ist die untere Schranke eines Intervalls. Es stellt auch glechzeitig ein Minimum dar, wenn es sich um eine geschlossene lonke Grenze des Intervalls handelt.

Intervall       

 

$[4,8]$

$4$ Infimum, Minimum

$8$ Supremum, Maximum

$(4,8)$

$4$ Infimum

$8$ Supremum

$(4,8]$

$4$ Infimum

$8$ Supremum, Maximum

$[4, 8)$

$4 Infimum, Minimum

$8$ Supremum

Beträge: Rechenregeln

(a)    $- |a| \le a \le |a|$,

(b)     $|-a| = |a|$,

(c)    $|ab| = |a||b|$,

(d)   $ |\frac {a} {b}| = \frac {|a|} {|b|}$    falls $b \not\in 0$

(e)    $|a| \le b      \leftrightarrow    -b \le a \le b$

Vollständige Induktion

1. Induktionsschritt: $A(1)$, d.h. die Aussage gilt für $n=1$

2. Induktionsschritt: $A(n+1)$, dh. für alle natürlich Zahlen $n > 1$ folgt aus $A(n)$ die Aussage $A(n+1)$

Sind 1. und 2. erfüllt so ist der Beweis erbracht.

Beispiel zur vollständigen Induktion:

Aussage: $1 + 2 + 3.... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ 

Formal: $\sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ 

1. Induktionsschritt:

$i = 1$, $n = 1$.

(linke Seite): $\sum_{i = 1}^1  i = 1$

(rechte Seite): $\frac{1(1+1)}{2} = 1$

2. Induktionsschritt: 

$i = 2: \sum_{i = 1}^2 1+2 = 3$ und $\frac{2(2+1)}{2} = 3$  [Aussage stimmt]

$i = 3: \sum_{i = 1}^3 1+2+3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6$  [Aussage stimmt]


Dies lässt sich bis unendlich (theoretisch) fortführen. Es wird statt dem Einsetzen von $i = 2,3,4,...$ stattdessen $i = n + 1$ eingesetzt und geschaut, ob die linke und rechte Seite äquivalent sind. Es wird mit der linken Seite begonnen:

$i = n + 1$:

$\sum_{i = 1}^{n+1} i $


Dies kann man auch schreiben zu:

$= \sum_{i = 1}^n i + (n + 1)$

Es wird demnach von $i = 1, ..., n$ die Summe gebildet und für $n+1$ hinten draufaddiert.

Einsetzen von: $ \sum_{i = 1}^n i =  \frac{n(n+1)}{2}$:

$= \frac{n(n+1)}{2} + (n + 1) $

$= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n + 1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)  + 2(n + 1)}{2}$

$= \frac{n^2 + 3n + 2}{2}$


Für die rechte Seite wird direkt für $n = n+1$ eingesetzt:

$\frac{(n + 1) (n + 1 + 1)}{2}$

$= \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$

$= \frac{(n^2 + 2n + n + 2}{2}$

$= \frac{(n^2 + 3n + 2}{2}$

Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl die rechte als auch die linke Seite äquivalent sind.

Fakultät

$\begin{equation} n! = \begin{cases} 1 & \text{für } n < 2 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \text{für } n \ge 2 \end{cases} \end{equation}$

Beispiele:

$0! = 1$

$1! = 1$

$2! = 2 \cdot 1 = 2$

$3! = 3 \cdot 2  \cdot 1 = 6$

Binominalkoeffizient

${n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 

Es gilt:

(1) ${n \choose 0}  = 1$, ${n \choose n} = 1$.

(2) ${n \choose k} + {n \choose k-1} = {n+1 \choose k} $

-Es gibt ${n \choose k}$ Möglichkeiten aus insgesamt $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen.

Beispiel: Binominalkoeffizient

Beim Lotto >>6 aus 49<< werden aus den 49 Zahlen 6 Zahlen gezogen. Es gibt

${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$

$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$

verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.

2. Vektorrechnung

Ortsvektoren beginnen immer im Ursprung $(0,0)$ und zeigen auf einen bestimmten Punkt. Z.B. beginnt der Vektor $\vec{a} = (4,3)$ im Ursprung und zeigt auf den Punkt $A(4,3)$.

Addition von Vektoren

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$

Subtraktion von Vektoren 

$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$



Skalieren eines Vektors $\vec{a}$ 

$s \cdot \vec{a}$

$s > 0$ Vektor wird länger

$0 < s < 1$ Vektor wird kleiner

$s< 0$ Vektor dreht sich um 90°

Länge eines Vektors $\vec{a}$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Berechnung des Einheitsvektors

zu einem Vektor $\vec{a}$


$\vec{e}_{\vec{a}} = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$


Berechnung eines Vektors 

zwischen zwei Punkten

$A$ und $B$.

Die Ortsvektoren zu den Punkten $A$ und $B$ sind:

$\vec{a}$ und $\vec{b}$.

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$

Dreiecksungleichung

$|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$   



Skalarprodukt

$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} \; \vec{b} = \vec{0} \end{cases}$

bzw.

$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$


Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren


$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$

Orthogonale Zerlegung von $\vec{a}$ längs $\vec{b}$

$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$  

mit

$s = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}}$

Vektorprodukt

xx

Spatprodukt

xx

  

Hinweis

Hier klicken zum AusklappenHier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Höhere Mathematik 1.

Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.

Jessica