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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Schubverformungen

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Schubverformungen

Infolge von Schubbelastungen treten je nach Orientierung der Schnittfläche Winkeländerungen und infolgedessen auch Schubverformungen auf, die auch Schiebungen genannt werden. Der Änderungswinkel $\gamma $ wird als Gleitwinkel bezeichnet.

Hookesches Gesetz für Schubverformung

Der oben genannte Zusammenhang von Schubspannung $\tau $ und der Schubverformung $\gamma $ lässt sich durch das Hookesche Gesetz für Schubverformung beschreiben:

Methode

Hookesche Gesetz für Schubverformung 

$\tau = G \cdot \gamma \rightarrow $ Schubspannung = Schubmodul $\cdot $ Gleitwinkel.

Der Schubmodul $ G $ hat entweder die Einheit $\frac{N}{mm^2} $ oder die Einheit $\ MPa $. Er besitzt demnach dieselbe Dimension wie der Elastizitätsmodul. Der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Elastizitätsmodul ist formal beschrieben durch:

Methode

$\ G = \frac{E}{2\cdot (1 + \nu)} $.

Elastische Isotropie

Hier gilt die Annahme, dass diese Beziehung unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist [Elastische Isotropie].

Beispiel

Die Gleichung für einen Baustahl mit einer Querkontraktionszahl von $\nu = 0,3 $ hat die Form:

$\ G = \frac{E}{2 \cdot ( 1 + \nu)} \rightarrow  G \approx \frac{3}{8} E \approx 0,4 E $.

Daraus lässt sich ableiten, dass ein elastischer, isotroper Körper zwei unabhängige Materialkonstanten hat. Entweder $ E$ und $ G$ oder $ E$ und $\nu $. Erfüllt ein Körper nicht die Eigenschaft der Isotropie, kann allein auf Basis dieser Konstanten das elastische Verhalten nicht errechnet werden. Es sind sehr viel mehr Materialkonstanten notwendig.

Beispiel

Orthotrope Materialien, wie Holz oder Kohlenstofffasern, besitzen eine Richtungsabhängigkeit und können mit lediglich neun Konstanten beschrieben werden. Andere Materialien hingegen benötigen für die Beschreibung des Materialverhaltens 21 Konstanten.