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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Dreiecksungleichung

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Dreiecksungleichung

Die DreiecksUngleichung besagt, dass zwei Seiten eines Dreiecks mindestens so groß sind, wie die andere Dreiecksseite.

Dreieck
Dreieck

 

Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Es muss hier der Betrag der Längen betrachtet werden:

Methode

$|a| + |b| \ge |a + b|$

mit

$a$ Länge der Seite a

$b$ Länge der Seite b


Für Vektoren gilt analog:

Methode

$|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$             Dreiecksungleichung

mit

$|\vec{a}| $ Länge der Seite a

$|\vec{b}|$ Länge der Seite b

$|\vec{a} + \vec{b}|$ Länge der Seite a+b

Dreiecksungleichung

Beweis der Dreiecksungleichung

Der Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:

Zunächst einmal gilt: $a \le |a|$    und    $b \le |b| $

(1)    $(a + b) \le |a| + |b|$  und  

Es gilt $ -a \le |a|$  und  $-b \le |b|$:


(2)
  $-a + -b =    -(a + b) \le |a| + |b|$

Für    $(a + b)$    und   $ -(a + b)$    gilt auch    $|a + b|$:

Zusammenfassen von (1) und (2):  $|a + b| \le |a| + |b|$.

Umgekehrte Dreiecksungleichung

$|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$

Beweis für die umgekehrte Dreiecksungleichung

Es gilt    $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$         (Dreiecksungleichung)


(1) Einsetzen von    $\vec{a}   = \vec{a} - \vec{b}$ :  

$|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} - \vec{b} + \vec{b}|$   =   $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a}|$


(2) Einsetzen von    $\vec{b}  = \vec{b} - \vec{a}$ :  

$|\vec{a}| + |\vec{b} - \vec{a}| \ge |\vec{a} + \vec{b} - \vec{a}|$   =   $|\vec{a}| + |\vec{b} - \vec{a}| \ge |\vec{b}|$


Aus (1) folgt:    $|\vec{a} - \vec{b}| \ge |\vec{a}| -  |\vec{b}|$


Aus (2) folgt:    $|\vec{a} - \vec{b}| \ge -(|\vec{a}| - |\vec{b}|)$


Zusammengefasst:  $|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$

Zahlenbeispiel: Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung Beispiel

Beispiel

Gegeben seien die drei Punkte $A(2,4)$, $B(-4,3)$ und $C(1,1)$. Zeigen Sie, dass die Verbindung von Punkt $B$ über $A$ nach $C$ länger ist, als von $B$ nach $C$.

Zunächst einmal werden die Orstvektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eingeführt. Dabei zeigt der Vektor $\vec{a}$ vom Ursprung auf den Punkt $A$, der Vektor $\vec{b}$ vom Ursprung auf den Punkt $B$ und der Vektor $\vec{c}$ vom Ursprung auf den Punkt $C$:

Dreiecksungleichung Beispiel

Die Ortsvektoren werden wie folgt berechnet:

$\vec{a} = (2,4) - (0,0) = (2,4)$

$\vec{b} = (-4,3) - (0,0) = (-4,3)$

$\vec{c} = (1,1) - (0,0) = (1,1)$.

Es können nun mittels Vektoraddition die Vektoren $\vec{BA}$, $\vec{AC}$ und $\vec{BC}$ bestimmt werden:

$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (2,4) - (-4,3) = (6,1)$

$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (1,1) - (2,4) = (-1,-3)$

$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1,1) - (-4,3) = (5,-2)$

Diese Vektoren stellen zunächst wieder Ortsvektoren dar, die vom Ursprung auf die Punkt (6,1), (-1,-3) und (5,-2) zeigen. Diese werden dann parallel zu sich selbst in die Punkte verschoben. Es ergibt sich das folgende Bild:

Dreiecksungleichung Beispiel

In der obigen Grafik sind die Ortsvektoren (gestrichelte Vektoren) eingezeichnet, welche auf die entsprechenden Punkte zeigen. Werden diese nun parallel zu sich selbst in die Punkte $A$, $B$, und $C$ verschoben, so sieht man deutlich, dass dies die Vektoren zwischen den Punkten darstellen. Es kann als nächstes die Länge der Vektoren bestimmt werden und dadurch die Dreiecksungleichung gezeigt werden:

$|\vec{BA}| + |\vec{AC}| \ge |\vec{BC}|$   

$|\vec{BA}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$

$|\vec{BC}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$

$\sqrt{37} + \sqrt{10} \ge \sqrt{29}$

$9,25 \ge 5,39$

Die Ungleichung ist erfüllt. Die zwei Dreiecksseiten sind länger, als die direkte Verbindung.