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Technische Mechanik 3: Dynamik - Rotation um einen raumfesten Punkt

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Rotation um einen raumfesten Punkt

Es wird als nächstes die Rotation um einen raumfesten Punkt betrachtet. Dabei stelle $A$ den festen Raumpunkt dar und $P$ einen bliebigen Punkt auf dem starren Körper:

Rotation um einen raumfesten Punkt
Rotation um einen raumfesten Punkt

Dabei wird die Geschwindigkeit $v_P$ des Punktes $P$ bestimmt, indem das Kreuzprodukt aus dem Vektor $r_{AP}$ von $A$ nach $P$ und der Winkelgeschwindigkeit gebildet wird:

Methode

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$v_P = \omega \times r_{AP}$     Geschwindigkeit des Punktes $P$


Die Beschleunigung des Punktes $P$ ergibt sich zu:

$a_P = \frac{dv_P}{dt} = \dot{\omega} \times r_{AP} + \omega \times \dot{r}_{AP}$


Da $A$ einen festen Raumpunkt darstellt, gilt $\dot{r}_A = $ und damit $\dot{r}_{AP} = \dot{r}_P$. Es gilt außerdem $v_P = \frac{dr_P}{dt} = \dot{r}_P$ und mit $v_P = \omega \times r_{AP} = \dot{r}_P$. Die Beschleunigung ergibt sich also zu:

Methode

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$a_P = \dot{\omega} \times r_{AP} + \omega \times ( \omega \times r_{AP})$    Beschleunigung

mit 

$\dot{\omega} = \alpha$ = Winkelbeschleunigung

$\omega $ = Winkelgeschwindigkeit