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Mechanische Verfahrenstechnik - Logarithmische Normalverteilung, LNVT-Verteilung

Kursangebot | Mechanische Verfahrenstechnik | Logarithmische Normalverteilung, LNVT-Verteilung

Mechanische Verfahrenstechnik

Logarithmische Normalverteilung, LNVT-Verteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz LNVT) lässt sich aus der Gaußschen Fehlerfunktion (lineare Normalverteilung) ableiten durch Substitution, denn der Logarithmus der Partikelgröße (ln x) ist meist normal verteilt. 

Normalverteilung - Verteilungsdichte

Zuerst betrachten wir die Verteilungsdichte der Normalverteilung. Formal wird diese beschrieben mit

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ q_r(x) = \frac{1}{s_x \cdot \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \overline{x}}{6 x})^2} $

Kennwerte: $ s_x $ = Standardabweichung der Größe x, $ \overline{x} = x_{50,r} $ = Median der r-Verteilung. 

Durch Logarithmieren und Integrieren ergibt sich schließlich die Verteilungssummenfunktion der LN-Verteilung:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ q_r(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot exp(- \frac{t^2}{2}) $ mit

$ t = \frac{ x - \overline{x}}{s_x} $

Der Mittelwert $ \overline{x}_r $ legt die Lage der Verteilung fest und die Standardabweichung $ s_x $ bestimmt die Breite der Verteilung. 

Logarithmische Normalverteilung - Verteilungsdichte

Die Verteilungsdichtefunktion der logarithmischen Normalverteilung ergibt sich aus

$ q_r(x) = \frac{1}{\sigma_x \sqrt{2 \pi}} exp[- \frac{1}{2}(\frac{x - x_{50,r}}{\sigma_x}) $ durch folgende Substitution:

$ t = \frac{1}{s_x} ln \frac{x}{x_{50,r}} $.

Die Verteilungsdichtefunktion ist dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ q_r(ln x) = \frac{1}{s_x \sqrt{2 \pi}} \cdot exp[ - \frac{1}{2} \cdot (\frac{ln(\frac{x}{x_{50,r}})}{s_x})^2] $ 

Das logarithmische Normalverteilungsnetz ist so geteilt, dass Wertepaare der zur obigen Gleichung gehörenden Verteilungssumme $ Q(x) $ hier eine Gerade für alle Mengenarten $ r $ ergeben.

Logarithmisches Normalverteilungsnetz
Logarithmisches Normalverteilungsnetz

 

Eine Logarithmische Normalverteilung liegt also vor, wenn gemessene Wertepaare $ (x, Q)$ einer Summenverteilung, nach Eintragen in das logarithmische Wahrscheinlichkeitsnetz eine Gerade bilden. Im Gegensatz zum linearen Normalverteilungsnetz weist das logarithmische Wahrscheinlichkeitsnetz eines Teilung der x-Achse auf. 

Merke

Hier klicken zum AusklappenLogarithmisch normal verteilte Partikelkollektive treten immer dann auf, wenn im Kollektiv größere Feingutanteile vorliegen und der Mengenanteil eher gering ausfällt.  

Medianwerte

Der vorgegebene Medianwert $ X_{50,k} $ und die Standardabweichung $ s_k $ erlauben es beliebige Medianwerte zu errechnen. Eine Ermittlung wird die folgt ermittelt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$ x_{50,r} = x_{50,k} \cdot e^{(r - k) \cdot s_k^2} $

Kennwerte: $ s_k $ = Standardabweichung, als Maß für die Breite der Verteilung, $ r = 0, 1, 2, 3 $, $ k = 0, 1, 2, 3 $ 

Merke

Hier klicken zum AusklappenMit $ x_{81}, x_{50}, x_{33} $ werden die Feinheitsmerkmale erfasst, unter denen $ 81%, 50%, 33 % $ der jeweiligen Mengen liegen. Die Standardabweichung ist nur durch die Steigung der Geraden gegeben und vollständig unabhängig von der Mengenart. Soll die Mengenart geändert werden, so muss die Verteilungsgerade vom alten Medianwert hin zum neuen Medianwert parallel verschoben werden. 

Hinweis

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Im kommenden Kursabschnitt betrachten wir Messverfahren zur Partikelgrößenanalyse.