Unelastischer Stoß

Handelt es sich bei dem Stoß zweier Massen um einen unelastischen Stoß, so verschmelzen diese durch den Stoßprozess zu einem einzigen Körper.

Kontrollierte Kollision, Inelastischer Stoß

Auch hier gilt wieder das Impulserhaltungsprinzip. Die Summe der Impulse vor dem Stoß muss also der Summe der Impulse nach dem Stoß entsprechen:

$m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 = m_1 \cdot \vec{v}'_1 + m_2 \cdot \vec{v}'_2$

Es muss hierbei unterschieden werden zwischen der Anfangsgeschwindigkeit $v$ eines Körpers vor dem Stoß und der Endgeschwindigkeit $v'$ eines Körpers nach dem Stoß. 

Betrachten wir nun zwei unelastische Körper (unelastischer Stoß), so verschmelzen diese Massen zu einem einzigen Körper. Das bedeutet also, dass die Endgeschwindigkeiten dann für beide Massen gleich sind, weil diese sich zusammen weiterbewegen:

$\vec{v}' = \vec{v}'_1 = \vec{v}'_2$

Einsetzen in die obige Gleichung ergibt dann den Gesamtimpuls nach dem Stoß:

Die obigen Gleichungen sind für zwei am Stoß beteiligten Körper in vektorieller Form beschrieben worden. Für den Spezialfall, dass sich zwei Körper gradlinig aufeinander zu bewegen gilt dann:

$ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) v'$  
    

Wir lösen nun die obige Impulsgleichung nach $v'$ auf:

Die Engeschwindigkeit $v'$ gilt also für beide Körper.

Anwendungsbeispiel: Unelastischer Stoß

Beispiel

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Wir betrachten einen Wagen mit der Masse $m_1 = 30 kg$, der reibungsfrei aus dem Stand eine schräge Ebene mit der Höhe von $h = 2 m$ hinab rollt. An Punkt B stößt er vollkommen unelastisch auf eine Kiste mit der Masse $m_2 = 15 kg$.

Unsere Aufgabe ist es nun die Strecke zu bestimmen, die die Kiste infolge des Stoßes auf der waagerechten Ebene bis zum erneuten Stillstand zurücklegt. Die Gleitreibungszahl der waagerechten Ebene beträgt $\mu = 0,25$. Der Wagen rollt sowohl vor als auch nach dem Stoß reibungsfrei.

1. Der Energieerhaltungssatz ist für den Wagen anwendbar:

Es sind keine Reibungskräfte bei dem Herunterrollen von der schrägen Ebene vorhanden, sodass der Energieerhaltungssatz angewendet werden kann, somit ist die Gesamtenergie hier konstant.

An Punkt A:

$W_{A; kin} = 0$     $\rightarrow$ da $v_1 = 0$

$W_{A; pot} = m_1 g h = 30 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 2 m$

$W_{A; pot} = 588,6 \frac{kgm^2}{s^2} = 588,6 Nm = 588,6 J$

An Punkt B:

$W_{B; kin} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 30 kg \cdot v_1^2$

$W_{B; pot} = 0$     $\rightarrow$ da $h = 0$

Gleichsetzen von Punkt A und Punkt B:

$W_{A; kin} + W_{A; pot} = W_{B; kin} + W_{B; pot}$

$588,6 J = \frac{1}{2} \cdot 30 kg \cdot v_1^2$     |Umstellen nach $v_1^2$

$v_1^2 = \frac{588,6 \frac{kgm^2}{s^2} \cdot 2}{30 kg}$     |Wurzel ziehen

$v_1 = \sqrt{\frac{588,6 \frac{kgm^2}{s^2} \cdot 2}{30 kg}}$

$v_1 = 6,26 \frac{m}{s}$

Der Wagen erreicht kurz vor dem Stoß eine Geschwindigkeit von $v_1 = 6,26 \frac{m}{s}$.

2. Impulserhaltungssatz:

Vor dem Zusammenstoß hat der Wagen die Geschwindigkeit $v_1 = 6,26 \frac{m}{s}$. Die Kiste befindet sich im Ruhezustand, d. h. ihre Geschwindigkeit beträgt $v_2 = 0$.

Da es sich hier um einen unelastischen Stoß handelt, weisen sowohl der Wagen als auch die Kiste nachdem Zusammenstoß dieselbe Geschwindigkeit auf.

$v_1' = v_2' = v'$

Der Impulserhaltungssatz lautet:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$     |$v_2 = 0$

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v'$     |:$(m_1 + m_2)$

$v' = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

$v' = \frac{30 kg \cdot 6,26 \frac{m}{s}}{30 kg + 15 kg}$

$v' = 4,17 \frac{m}{s}$

3. Weg bestimmen:

Um den von der Kiste zurückgelegten Weg zu bestimmen, müssen wir zunächst die kinetische Energie beider Objekte betrachten. Kiste + Wagen bewegen sich kurz nach dem Stoß zusammen mit der Geschwindigkeit $v' = 4,17 \frac{m}{s}$.

Zustand 1:

$W_{kin} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v'^2$

$W_{kin} = \frac{1}{2} (30 kg + 15 kg) \cdot (4,17 \frac{m}{s})^2$

$W_{kin} = 391,25 \frac{kgm^2}{s^2} = 391,25 Nm = 391,25 J$

Die kinetische Energie beträgt $W_{kin} = 391,25 J$. Als Nächstes müssen wir den Zustand 2 betrachten. In diesem ist die kinetische Energie gleich Null, da aufgrund der Reibung die Kiste und das Fahrzeug zum Stehen gebracht werden.

Zustand 2:

$W_{kin} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = 0$

Wo ist die kinetische Energie hin?

Die kinetische Energie wurde vollständig zum Verrichten der Reibungsarbeit verbraucht:

$W_{Reib} = R \cdot s$

Wir stellen als nächstes das Newtonsche Grundgesetz auf um die Reibungsarbeit zu bestimmen. Dabei darf hier nur die Kiste betrachtet werden, da der Wagen weiterhin keine Reibung aufweist.

Die x-Achse liegt in der Bewegungsrichtung.

$F_x = m_2 a_x$

$F_y = m_2 a_y$     |$a_y = 0$, da keine Bewegung in y-Richtung erfolgt

$F_x = $ Summe der Kräfte in x-Richtung

$F_x = -R$ (zeigt in die negative x-Richtung)

$F_y = $ Summe der Kräfte in y-Richtung

$F_y = N - G$

Einsetzen in das Newtonsche Grundgesetz:

(1) $-R = m_2 a_x$

(2) $N - G = m_2 a_y$     |$a_y = 0$

(2) $N - G = 0$

$\Rightarrow$ $N = G = m_2 g = 15 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s} = 147,15 N$

Es gilt:

$R = \mu \cdot N$

$R = 0,25 \cdot 147,17 N$

$R = 36,79 N$

Reibungsarbeit:

$W_{Reib} = R \cdot s$

Da die gesamte kinetische Energie zum Verrichten der Reibungsarbeit verbraucht wird, gilt:

$W_{Reib} = W_{kin}$

$36,79 N \cdot s = 391,25 J$     |:$36,79 N$

$s = \frac{391,25 Nm}{36,79 N}$

$s = 10,63 m$

Die Kiste und der Wagen legen eine Strecke von $s = 10,63 m$ nach dem Zusammenstoß zurück.