Kursangebot | Physik | Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit

Physik

Integration der Bahnbeschleunigung/-geschwindigkeit

In den vorherigen Abschnitten ist immer davon ausgegangen worden, dass die Bahnkurve $r(t)$ gegeben ist. Es besteht natürlich ebenfalls die Möglichkeit, dass die Beschleunigung gegeben ist und daraus die Geschwindigkeit und die Bahnkurve bestimmt werden sollen.

Es gilt allgemein für die skalare Darstellung:

Methode

$v(t) = \frac{ds}{dt}$

$a(t) = \frac{dv}{dt}$ 

Bestimmung der Bahngeschwindigkeit aus der Bahnbeschleunigung

Um nun beispielsweise aus der Beschleunigung die Geschwindigkeit bestimmen zu können, wird die Bahngeschwindigkeit aus der folgenden Gleichung bestimmt:

$a(t) = \frac{dv}{dt}$


Es folgt dann die Auflösung nach $dv$:

$dv = a(t) \cdot dt$


Anschließend Integration beider Seiten:

$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a(t) \; dt$


Letztlich resultiert dann:

Methode

$v - v_0 =  \int_{t_0}^t a(t) \; dt$

Bestimmung der Bahnkurve aus der Bahngeschwindigkeit

Mit einer weiteren Integration ist es dann möglich die Bahnkurve zu bestimmen. Hierfür wird die folgende Gleichung herangezogen:

$v(t) = \frac{ds}{dt}$


Auflösen nach $dr$:

$ds = v(t) \; dt$


Anschließend wieder Integration beider Seiten:

$\int_{s_0}^s ds = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$


Es resultiert dann:

Methode

$s - s_0 = \int_{t_0}^t v(t) \; dt$

Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeit und Bahnkurve bestimmen

Beispiel

Ein Fahrzeug weist eine konstante Beschleunigung von $a = 4m/s^2$ auf. Wie sieht die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $t$ aus und wie die Bahnkurve?

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wird die Bahnbeschleunigung einmal integriert:

$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t 4 \frac{m}{s^2} \; dt$

$v - v_0 = [4 \frac{m}{s^2} t]_{t_0}^t $

$v - v_0 = 4\frac{m}{s^2}t - 4\frac{m}{s^2}t_0 $

Methode

$v = 4\frac{m}{s^2}t - 4\frac{m}{s^2} t_0 + v_0 $

Dabei sind $v_0$ und $t_0$ Konstanten.

Die Bahnkurve berechnet sich dann aus der einmaligen Integration der Geschwindigkeit:

$\int_{s_0}^s ds =  \int v(t) \; dt$

$s - s_0 = \int_{t_0}^t [4 \frac{m}{s^2} t - 4 \frac{m}{s^2}t_0 + v_0] dt$

$s - s_0 = [\frac{4}{2} \frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot 4 \frac{m}{s^2} t_0 + t \cdot v_0]_{t_0}^t$

$s - s_0 = [2 \frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot \frac{m}{s^2} t_0 + t \cdot v_0]_{t_0}^t$

$s - s_0 = [2\frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot 4\frac{m}{s^2} t_0 + t \cdot v_0] - [2 \frac{m}{s^2} t_0^2 - 4\frac{m}{s^2} t_0^2 + t_0 \cdot v_0]$

$s - s_0 = [2 \frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot 4 \frac{m}{s^2} t_0 + t \cdot v_0] - [-2\frac{m}{s^2} t_0^2 + t_0 \cdot v_0]$

$s - s_0 = 2\frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot 4\frac{m}{s^2}t_0 + t \cdot v_0 + 2\frac{m}{s^2} t_0^2 - t_0 \cdot v_0$

$s  = 2\frac{m}{s^2} t^2 - t \cdot 4\frac{m}{s^2}t_0 + t \cdot v_0 + 2\frac{m}{s^2} t_0^2 - t_0 \cdot v_0 + s_0$

Beispiel

Die Anfangsbedingungen seien: $t_0 =0s$, $s_0 = 0m$ sowie $v_0 = 0 m/s$. Wie sieht der Weg zum Zeitpunkt $t=5s$ aus?

Mit diesen Anfangsbedingungen ergibt sich dann:

$s  = 50 m$

Beispiel

Die Anfangsbedingungen seien: $t_0 =2s$, $r_0 = 4m$ sowie $v_0 = 20 m/s$. Wie sieht der Weg zum Zeitpunkt $t =5s$ aus?

Mit diesen Anfangsbedingungen ergibt sich dann:

$s  = 2\frac{m}{s^2} (5s)^2 - 5s \cdot 4 \frac{m}{s^2}\cdot 2s + 5s \cdot 20m/s + 2\frac{m}{s^2} \cdot (2s)^2 - 2s \cdot 20 m/s + 4m$

$s  = 50m - 40m +100m + 8m - 40m + 4m = 82m$.

Merke

Sind die Anfangsbedingungen nicht gegeben, so kann man davon ausgehen, dass: $t_0 = v_0 = s_0 = 0$ ist. Sinnvoll ist es die Anfangsbedingungen sofort zu Beginn zu berücksichtigen. Die erleichtert die Integration enorm.


Es wird wieder das selbe Beispiel betrachtet, diesmal werden die Anfangsbedingungen aber direkt berücksichtigt:

Beispiel

Ein Fahrzeug weist eine konstante Beschleunigung von $a = 4m/s^2$ auf. Wie sieht die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von $t$ aus und wie die Bahnkurve, wenn $t_0 = v_0 = s_0 = 0$

Zur Bestimmung der Geschwindigkeit wird die Bahnbeschleunigung einmal integriert:

$\int_{v_0 = 0}^v dv = \int_{t_0 = 0}^t 4 \frac{m}{s^2} \; dt$

$v - 0 = [4 \frac{m}{s^2} t]_{0}^t $

$v  = [4 \frac{m}{s^2} t]_{0}^t $

$v  = 4\frac{m}{s^2} t - 4\frac{m}{s^2} \cdot 0 $

Methode

$v  = 4\frac{m}{s^2} t $             Geschwindigkeit

Die Bahnkurve berechnet sich dann aus der einmaligen Integration der Geschwindigkeit:

$\int_{s_0 = 0}^s ds =  \int v(t) \; dt$

$s - 0= \int_{t_0}^t [4 \frac{m}{s^2} t ] dt$

$s  = \int_{t_0 = 0}^t [4 \frac{m}{s^2} t ] dt$

$s  = [2 \frac{m}{s^2} t^2 ]_{0}^t $

Methode

$s  = 2 \frac{m}{s^2} t^2 $       Bahnkurve