Aufgaben-Lösungen-Kinematik

Beispiel

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1.Der Abstand der Sonne zur Erde beträgt 150 Mio Kilometer. Wie lange benötigt das Licht von der Sonne bis zur Erde?

Sonnenaufgang

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $\approx 300.000 \frac{km}{s}$.

Es handelt sich hierbei um eine gradlinige Bewegung. Der Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit ist: 

$v = \frac{dx}{dt}$

Umstellung der Formel:

$dx = v \cdot dt$

Integration:

$\int_0^x dx = \int_0^t v dt$

Umstellen nach $t$:

$t = \frac{x}{v} = \frac{150.000.000 km}{300.000 \frac{km}{s}}$

Das Licht benötigt ca. 500 Sekunden von der Sonne bis zur Erde.

Beispiel

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2. Die Erdbahn um die Sonne ist nahezu ein Kreis. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Erdmittelpunktes auf seiner Bahn um die Sonne?

unverhältnismäßige Darstellung der Umlaufbahn

Hier wird wieder der Abstand der Sonne zur Erde berücksichtigt. Dieser beträgt 150 Mio km. Wenn man sich nun die Sonne als Kreismittelpunkt vorstellt, so ist der Abstand von Sonne zur Erde der Radius $r = 150 Mio km$. Der Weg der zurückgelegt wird ist ein voller Kreis. Ein Kreis besitzt einen Umfang von $U = 2 \pi r$.

Es kann also der Weg der Erde bestimmt werden durch:

$U = 2 \pi r = 2 \cdot \pi \cdot 150 Mio km \approx 942 Mio km$.

Die Erde benötigt 365 Tage, um einma die Sonne zu umkreisen. Wir haben für die Zeit also:

$t = 365 Tage$

Die Tage werden noch in Sekunden umgerechnet:

$365 Tage = 365 \cdot 24 h = 8760 h = 8760 \cdot 3.600 s = 31.536.000 s$

Es kann als nächstes die Formel aus dem 1. Beispiel herangezogen werden:

$x = v \cdot t$   

Umstellen nach $v$:

Hier hätte auch die Formel für die Kreisbewegung in Polarkoordinaten herangezogen werden können:

 $v_{\varphi} =r \dot{\varphi}$ 

 $v_{\varphi} =r \frac{d\varphi}{dt}$    |$\cdot dt$

$v_{\varphi} \cdot dt = r d\varphi$

Integration linke Seite nach $t$ (durch $dt$ gekennzeichnet) und rechte Seite nach $\varphi$:

$\int_0^t v_{\varphi} dt = \int_0^{\varphi} r \; d\varphi$

$  v_{\varphi} \cdot t = r \cdot \varphi$

Umstellen nach $v_{\varphi}$:

$  v_{\varphi}= \frac{r \cdot \varphi}{t}$

Dabei ist $\varphi$ der gesamte Winkel des Kreises. Also von der positiven x-Achse beginnend verläuft die Erde eine Kreisbahn bis zur positiven x-Achse zurück. Der gesamte Winkel eines Kreises beträgt 360° oder $2\pi$ Radiant. Es wird hier der Radiant eingesetzt:

$  v_{\varphi}= \frac{150 Mio km \cdot 2\pi}{31.536.000 s}$

Es gilt der Zusammenhang:

$v = \frac{dx}{dt}$

Die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit.

Es müssen hier zwei Bereiche betrachtet werden, da die Geschwindigkeit in jedem Bereich unterschiedlich ist.

1. Bereich: $v = 1,5 \frac{m}{s}$, $0 \le t \le 3$

$v = \frac{dx}{dt}$  |$\cdot dt$

$v \cdot dt = dx$

Integration (Integrationsgrenzen sind gegeben für die Zeit $t$):

$\int_0^3 v \; dt = \int_0^x dx$

$v \cdot 3s = x$

2. Bereich: $v = -1 \frac{m}{s}$, $3 \le t \le 5$

Die Integrationsgrenzen sehen nun anders aus. Die untere Grenze ist nun nicht mehr $t = 0$, sondern $t = 3$ und die obere Grenze $t = 5$. Die untere Grenze ist $x = 4,5m$:

$\int_3^5 v \; dt = \int_{4,5 m}^x dx$

$v \cdot 5s - v \cdot 3s = x - 4,5m$

Insgesamt ergibt sich also ein Weg von 2,5m vom Ursprung aus gesehen. Der negative Weg ist durch die negative Geschwindigkeit gegeben. Hier kann man sich vorstellen, dass z.B. ein Auto im 2. Bereich rückwärts fährt oder einfach umgedreht hat und wieder zurück fährt.