ingenieurkurse
online lernen

Besser lernen mit Online-Kursen

NEU! Jetzt online lernen:
Strömungslehre
Den Kurs kaufen für:
einmalig 39,00 €
Zur Kasse
Hydrostatik > Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände:

Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]
Beispiel Berechnung Horizontalkraft

Beispiel

Gegeben sei ein Wasserbecken. Das Wasserbecken besteht aus Betonwänden. In einer dieser Wände befindet sich eine Tür. Diese Tür hat eine Höhe von 2,5m, eine Länge von 1,5 m und eine Breite (Tiefe) von 1m. Insgesamt ergeben sich 3,75 m³. Der Schwerpunkt der Tür befindet sich in 5m Tiefe. Es soll die Horizontalkraft und die Vertikalkraft bestimmt werden. Außerdem die Resultierende und ihre Wirkungslinie.

Berechnung der Horizontalkraft

In diesem Beispiel wirkt nur eine Horizontalkraft ($x$-Richtung) auf die Tür. Eine Vertikalkraft ($z$-Richtung) existiert hier nicht (zumindest nicht durch das Wasser). Es muss also die Horizontalkraft bestimmt werden:

$F_H = p_s \cdot A_{proj}$

$F_H = \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

Für die Berechnung muss zunächst wieder eine Fläche projiziert werden:

Beispiel Dreieckslast

In der obigen Grafik ist nun der Schwerpunkt (rot) der Tür eingezeichnet. Der Schwerpunkt befindet sich in der Mitte (die Tür ist ein Rechteck). Der schwarze Türknauf wurde der Übersicht halber entfernt. Der Schwerpunkt befindet sich 5m tief unter Wasser. Das bedeutet, dass sich der obere Rahmen der Tür 3,75 m unter Wasser befindet (=5m - 1,25m) und der untere Rahmen befindet sich 6,25 m (=5m + 1,25m) unter Wasser. Es muss jetzt also nur die Dreieckslast für die Tiefen zwischen 3,75m und 6,25m berücksichtigt werden, da für diese Tiefen eine horizontale Kraft (x-Richtung) auf die Tür drückt.

Die Horizontalkraft wird bestimmt durch: 

$F_H = \rho \; g \; h_s \cdot A_{proj}$.

$h_s$ ist dabei der senkrechte Abstand des Schwerpunktes zur Flüssigkeitsoberfläche. Dieser ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben: $h_s = 5m$.

$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 5 m \cdot A_{proj}$.

Die projizierte Fläche wird bestimmt indem die Höhe und die Breite dieser miteinander multipliziert werden. Die Höhe der Tür ist 2,5m und die Breite 1,5m. Dies stimmt mit der tatsächlichen Tür überein, da hier kein Winkel gegeben ist (z.B. schräge Wand).

Merke

Sollte die Breite $y = b$ in der Aufgabenstellung nicht angegeben sein, dann geht man immer von 1m aus!

Merke

Um den Flächeninhalt der projizierten Fläche zu bestimmen und hier auch die richtigen Werte zu verwenden, kann man sich folgendes Merken: Wenn man die Horizontalkraft in $x$-Richtung bestimmt, dann ergibt sich die projizierte Fläche (m²) aus den Abmessungen in $y$-Richtung und in $z$-Richtung.

Für die Tür bedeutet dies, dass für die projizierte Fläche die Abmessungen in $y$-Richtung, also 1,5m und die Abmessungen in $z$-Richtung, also 2,5m, benötigt werden.

$F_H = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 5 m \cdot 2,5m \cdot 1,5 m$.

$F_H = 183.931,98 N = 183,93 kN$.

Wirkungslinie der Horizontalkraft

Nachdem nun die Horizontalkraft bestimmt wurde, muss als nächstes ihre Wirkungslinie bestimmt werden. Die Horizontalkraft liegt nicht im Schwerpunkt der Fläche der Tür, sondern im Schwerpunkt der Dreieckslast. Der Schwerpunkt eines Dreiecks befindet bei 2/3 der Höhe des Dreiecks:

$2,5 \cdot \frac{2}{3} = 1,67 m$.

Allerdings muss hier noch die 3,75m hinzuaddiert werden, da die Dreieckslast für die Tür ja erst bei 3,75m Tiefe beginnt:

$1,67 m + 3,75 m = 5,42 m$.

Die Wirkungslinie der Horizontalkraft $F_H$ liegt also bei 5,42 m Tiefe.

Beispiel Horizontalkraft Wirkungslinie

Resultierende und Wirkungslinie

Die Resultierende wird bestimmt durch:

$F_R = \sqrt{F_V^2 + F_Z^2} = \sqrt{F_H^2} = \sqrt{ 183,93^2 kN^2} =  183,93 kN$.

Da keine Vertikalkraft existiert, ist die Resultierende gleich der Horizontalkraft.

Die Wirkungslinie ist also genau die der Horizontalkraft (Vertikalkraft = 0), damit ist der Winkel gleich Null:

$\alpha = \tan^{-1} \frac{F_V}{F_H} = \tan^{-1} (0) = 0$.

Anwendungsbeispiel: Druck auf den Behälterboden

Hydrostatisches Paradoxon Beispiel

Beispiel

Wie groß ist die Gewichtskraft des Wassers? Wie groß ist die Druckkraft, welche auf den Behälterboden wirkt? Wie groß sind die Lagerkräfte?

Gewichtskraft des Wassers

Die Gewichtskraft des Wasser wird bestimmt durch:

$F_G = \rho \; g \; V$.

Hier muss das gesamte Volumen des obigen Beckens berücksichtigt werden. Das Volumen ergibt sich u.a. durch:

$V = 5m \cdot 6m \cdot 1m + 3m \cdot 4m \cdot 1m = 42m^3$.

Die $b = y = 1m$ sind in der Aufgabenstellung nicht angegeben. Ist die Breite $y$ nicht angegeben, dann wird 1m verwendet.

$F_G = \rho \; g \; V$.

Methode

$F_G = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot 42m^3 = 412.007,64 N = 412 kN$.

Druckkraft auf Behälterboden

Um die Kraft zu bestimmen, welche auf den Behälterboden wirkt, muss man zunächst den Druck bestimmen, welcher sich in dieser Tiefe ergibt:

$p(h) = \rho \; g \; h$

$p(h) = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,80 \frac{m}{s^2} \cdot 8 m = 78.477,65 Pa$.

Es muss dann der Druck für den gesamten Boden bestimmt werden. Hierzu muss die Fläche $x \cdot y$ betrachtet werden, da die Druckkraft in $z$-Richtung gesucht wird:

$A = x \cdot y = 6 m \cdot 1 m = 6m^2$.

Es gilt: $F = p \cdot A_{proj}$

Methode

$F_Z = 78.477,65 \frac{kg}{m \; s^2} \cdot 6m^2 = 470.865,90v \frac{kg \; m}{s^2} = 470,87 kN$.

Es wurde hier die Formel:

$F = p \cdot A_{proj}$ angwendet, welche aus dem Abschnitt Horizontalkraft bekannt ist. Hier war aber die Frage, welche Druckkraft am Behälterboden resultiert, weshalb hier die $z$-Richtung betrachtet wurde. Die projizierte Fläche $A_{proj}$ ist hier nicht wie bei der Horizontalkomponente eine Dreieckslast, sondern eine konstante Last, da der Boden des Beckens in jedem Punkt die gleiche Tiefe aufweist und demnach der Druck überall konstant ist. Es wirkt also nicht die Hälfte des Drucks auf den Boden, sondern der gesamte Druck, weshalb hier nicht der Schwerpunkt betrachtet wird. Da die Kraft in $z$-Richtung gesucht wird, ergibt sich die projizierte Fläche aus der $x$- und $y$-Richtung.

Merke

Betrachtet man bei der Formel $F = p \cdot A_{proj}$ die Kraft in $x$-Richtung (Horizontalkraft), so berechnet sich die projizierte Fläche aus der $y,z$-Richtung. Betrachtet man die Kraft in $z$-Richtung, so berechnet sich die projizierte Fläche aus der $x,y$-Richtung und bei Betrachtung der $y$-Richtung berechnet sich die projizierte Fläche aus der $x,z$-Richtung.

Projizierte Fläche
Bestimmung der Lagerkräfte

Zunächst einmal werden die Lagerkräfte aus der Gewichtskraft des Wassers bestimmt. Es sollen hier nur die vertikalen Kräfte bestimmt werden:

$\curvearrowleft A : B_v \cdot 6m - F_G \cdot 3 m$

Die Gewichtskraft greift mittig an, deswegen 3m.

Methode

$B_v = F_G \frac{3m}{6m} = 412 kN \frac{3m}{6m} = 206 kN$.

$\curvearrowleft B: -A_v \cdot 6m + F_G \cdot 3m$

Methode

$A_v = F_G \frac{3m}{6m} = 412 kN \frac{3m}{6m} = 206 kN$.

Die Gewichtskraft des Wassers verteilt sich auf beide Lager.

Merke

Erinnerung: Ein Moment wird positiv, wenn sich das betrachtete Objekt gegen den Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt dreht und negativ, wenn es sich im Uhrzeigersinn um den Bezugspunkt dreht.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Kräfte aus der Druckkraft $F_Z$ auf den Boden zu bestimmen. Auch diese greift mittig an, da hier die rechteckige Last ihren Schwerpunkt in der Mitte aufweist und genau dort die Kraft $F_Z$ angreift (bei der Horizontalkraft war es so, dass diese bei 2/3 der Höhe angreift, da eine Dreieckslast vorlag und diese ihren Schwerpunkt bei 2/3 der Höhe hat):

$\curvearrowleft A : B_v \cdot 6m - F_Z \cdot 3 m$

$B_v = F_Z \frac{3m}{6m} = 470,87 kN \frac{3m}{6m} = 235,44 kN$.

$\curvearrowleft B: -A_v \cdot 6m + F_Z \cdot 3m$

$A_v = F_Z \frac{3m}{6m} = 470,87 kN  \frac{3m}{6m} = 235,44 kN$.

Die Gewichtskraft des Wassers verteilt sich auf beide Lager.

Es sind nun zwei unterschiedliche Werte für die Lager ermittelt worden. Wie kann das sein? Es muss bei der letzteren Berechnungsweise noch zusätzlich die Auftriebskraft an den Seitenteilen berücksichtigt werden:

Auftriebskraft

Es muss nun also die Auftriebskraft $F_A$ an den Seitenteilen berücksichtigt werden:

$F_A = p \cdot A_{proj}$.

 Es wird zunächst die linke Seite betrachtet. Der Druck berechnet durch:

$p(h) = \rho \; g \; h = 999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot 9,80 \frac{m}{s^2} \cdot 3 m = 29.429,12 Pa$.

Hier wurde die Höhe $h = 3m$ gewählt, da die Seitenteile 3m tief liegen.

Die projizierte Fläche bestimmt sich durch:

$A_{proj} = x \cdot y = 1m \cdot 1m = 1m^2$.

Insgesamt ergibt sich für die Auftriebskraft der linken Seite:

$F_A^l = 29.429,12 \frac{kg}{m \; s^2} \cdot 1 m^2 = 29.429,12 N = 29,43 kN$.

Die rechte Seite besitzt dieselbe Auftriebskraft:

$F_{A}^r = 29,43 kN$.


Die erneute Berechnung der Lagerkräfte muss nun unter Berücksichtigung dieser Auftriebskräfte geschehen:

$\curvearrowleft A : B_v \cdot 6m - F_Z \cdot 3 m + F_A^l \cdot 0,5m + F_A^r \cdot 5,5m$

$B_v = F_Z \frac{3m}{6m} - F_A^l \cdot \frac{0,5m}{6m} - F_A^r \cdot \frac{5,5m}{6m} $

$B_v = 470,87 kN \frac{3m}{6m} - 29,43 kN \cdot \frac{0,5m}{6m} - 29,43 kN \cdot \frac{5,5m}{6m}= 206 kN$.

$\curvearrowleft B: -A_v \cdot 6m + F_Z \cdot 3m - F_A^l \cdot 5,5m - F_A^r \cdot 0,5m$

$A_v = F_Z \frac{3m}{6m} - F_A^l \cdot \frac{5,5m}{6m} - F_A^r \cdot \frac{0,5m}{6m} $

$A_v = 470,87 kN \frac{3m}{6m} - 29,43 kN \cdot \frac{5,5m}{6m} - 29,43 kN \cdot \frac{0,5m}{6m}= 206 kN$.

Die Lagerkräfte stimmen nun mit denen überein, welche aus der Gewichtskraft $F_G$ bestimmt worden sind.

Merke

Wichtig ist also, dass die Lagerkräfte aus der Gewichtskraft des Wassers berechnet werden können (einfache Methode). Oder eben aus den Druckkräfte auf den Boden. Hier müssen aber noch zusätzlich die Auftriebskräfte an den Seitenteilen berücksichtigt werden (sofern vorhanden).

Bild von Autor Jessica Scholz

Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Strömungslehre.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses StrömungslehreStrömungslehre
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Strömungslehre

Ingenieurkurse (ingenieurkurse.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Strömungslehre
    • Einleitung zu Kurs: Strömungslehre
  • Grundlagen der Strömungslehre
    • Einleitung zu Grundlagen der Strömungslehre
    • Aggregatzustände
    • Dichte
    • Kompressibilität
    • Viskosität
    • Ideales Fluid
    • Reales Fluid
  • Hydrostatik
    • Einleitung zu Hydrostatik
    • Fluidspannungen
    • Hydrostatischer Druck
      • Einleitung zu Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: Hydrostatischer Druck
      • Beispiel: U-Rohr-Manometer
      • Beispiel: Hydrostatischer Bodendruck bei unterschiedlichen Querschnitten
    • Hydrostatisches Paradoxon
    • Hydrostatische Auftriebskraft
    • Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Einleitung zu Druckkräfte auf ebene rechteckige Behälterwände
      • Vertikalkraft
      • Horizontalkraft
      • Resultierende und Wirkungslinie
      • Anwendungsbeispiel: Druckkräfte auf Behälterwände
    • Druckkräfte auf eben geneigte rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf eben geneigte nicht rechteckige Flächen
    • Druckkräfte auf gekrümmte Flächen
    • Geschichtete Fluide
  • Kinematik einer Strömung
    • Stationäre und instationäre Strömungen
    • Bahnkurven und Stromlinien
    • Lagrange-/Euler-Darstellung
    • Stromfaden und Stromröhre
  • Hydrodynamik
    • Einleitung zu Hydrodynamik
    • Reibungsfreie Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsfreie Strömungen
      • Stromfadentheorie (eindimesionale Strömung)
      • Kontinuitätsgleichung (stationäre Strömung)
      • Bernoullische Energiegleichung (stationär)
      • Spezialfälle der Bernoullischen Energiegleichung
    • Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einleitung zu Reibungsbehaftete Strömungen
      • Einzelverluste (turbulente Strömungen)
      • Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Einleitung zu Verluste in Rohrleitungen (streckenabhängige)
        • Kinematische Zähigkeit
        • Äquivalente Sandrauhigkeit
        • Moody-Diagramm
      • Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Einleitung zu Berechnung der gesamten Verluste in Rohrleitungen
        • Laminare Strömung (kreisförmiger Querschnitt)
        • Turbulente Strömungen (kreisförmiger Querschnitt)
        • Strömungen nicht-kreisförmiger Querschnitte
        • Iterative Bestimmung der Rohrreibungszahl Lambda
    • Rohrleitungen mit Pumpen
      • Einleitung zu Rohrleitungen mit Pumpen
      • Pumpen bei reibungsfreien Strömungen
      • Pumpen bei reibungsbehafteten Strömungen
  • Impulssatz und Drallsatz
    • Einleitung zu Impulssatz und Drallsatz
    • Impulssatz
      • Einleitung zu Impulssatz
      • Stützkraftkonzept
      • Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung
    • Drallsatz (Impulsmomentensatz)
  • Ebene Strömungen
    • Einleitung zu Ebene Strömungen
    • Wiederholung: Stromlinienkonzept
    • Stromfunktion
      • Einleitung zu Stromfunktion
      • Beispiel: Stromfunktion
    • Potentialfunktion
    • Quelle und Senke (Divergenz)
    • Wirbelstärke
  • 61
  • 9
  • 58
  • 135
einmalig 39,00
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG
Online-Kurs Top AngebotTrusted Shop

Unsere Nutzer sagen:

  • Gute Bewertung für Strömungslehre

    Ein Kursnutzer am 17.03.2016:
    "Optimal bis jetzt :)"

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 10% bei deiner Kursbuchung!

10% Coupon: lernen10

Zu den Online-Kursen