Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)

Ähnlich wie bei Einbereichsaufgaben folgt man auch bei Mehrbereichsaufgaben einem Ablaufschema. Der Unterschied besteht jedoch im höheren Rechenaufwand. So liegt nun nicht mehr ein konstanter Momentenverlauf über eine gesamte Balkenlänge vor mit derer sich die Durchbiegung bestimmen lässt, sondern eine abschnittsweise Bestimmung des Momentenverlaufs. Das führt zu zwei Änderungen gegenüber dem vorherigen Schema:

Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt sich nun die folgende Aufgabe lösen.

Beispiel: Asymmetrisch belasteter Balken

Man sieht einen Balken der auf einem Fest- und Loslager gelagert ist. Im rechten Bereich des Balkens wirkt eine Kraft F und unterteilt den Balken dadurch in zwei unterschiedlich große Abschnitte. Der linke Abschnitt hat die Länge $a$ und der rechte Abschnitt die Länge $b $. Zusammen ergeben sich beide zu der Gesamtlänge $ l = a+ b $. Zudem wird davon ausgegangen, dass sich die Querschnittsfläche nicht ändert, wodurch $ EI_{yy} $ anstelle von $E(x)I_{yy}(x) $ gilt.

Nun wird nach dem bekannten Schema mit der Bestimmung der Auflagerkräfte begonnen.

1. Bestimmung der Auflagerkräfte

$ \rightarrow : A_H = 0 $  

Da $A_h = 0$, wird im Folgenden $A_v = A$ verwendet.

$\curvearrowleft{A}: B \cdot l - F \cdot a = 0 \; \rightarrow \; B = F \frac{a}{l}$

$\curvearrowleft{B}: -A \cdot l + F \cdot b = 0 \; \rightarrow \; A = F \frac{b}{l}$

2. Bestimmung des Momentenverlaufs

Bereich I: $ 0 \le x \le a $

$\curvearrowleft{S}: M_1(x) - A \cdot x = 0 \; \rightarrow \; M_1(x) = A \cdot x$

Einsetzen von $A = F \frac{b}{l}$:

Bereich II: $\ a \le x \le l $

$\curvearrowleft{S}: M_2(x) - A \cdot x + F \cdot (x - a) = 0 $

$ M_2(x) = Ax - F (x-a)$

Einsetzen von $A =  F \frac{b}{l}$:

3. Integration der beiden Bereiche:

Bereich I: 

$ EIw_1'' = - M_1(x) = - F\frac{b}{l} x $

$ EIw_1' = - F \frac{b}{l} \frac{x^2}{2} + C_1 $

$ EIw_1 = - F \frac{b}{l} \frac{x^3}{6} + C_1 x + C_2 $ 

Bereich II: 

$ EIw_2'' = - M_2(x) = - F\frac{b}{l} x + F(x - a) $

$ EIw_2' = - F\frac{bx^2}{2l} + F\frac{(x-a)^2}{2} + D_1 $

$ EIw_2 = - F\frac{bx^3}{6l} + F\frac{(x-a)^3}{6} + D_1 x + D_2 $

Insgesamt liegen im Moment vier unbekannte Integrationskonstanten vor, die es zu ermitteln gilt. 

4. Aufstellen der Randbedingungen

$ w_1 (x) = 0 für \ x = 0 $

$ w_2 (x) = 0 für \ x = l $

5. Aufstellen der Übergangsbedingungen

Es gilt, dass für $x = a$ die Biegelinie für beide Bereiche identisch ist:

$ w_1(x) = w_2(x) für \ x = a $

$ w_1'(x) = w_2'(x) für \ x = a $

6. Lösen und Bestimmung der Integrationskonstanten

Aus der ersten Randbedingung erhält man, dass

sein muss. 

Aus der zweiten Randbedingung lässt sich nach Einsetzen von $ l $ in die Gleichung wie folgt ermitteln:

$ EIw_2 = - F\frac{bl^3}{6l} + F\frac{(l-a)^3}{6} + D_1 l + D_2 = 0 $

Einsetzen von $a = (l - b)$, um den Term zu verkürzen:

$ - F\frac{bl^3}{6l} + F\frac{(l - (l - b))^3}{6} + D_1 l + D_2 = 0 $    

$ - F\frac{bl^3}{6l} + F\frac{b^3}{6} + D_1 l + D_2 = 0 $                

$ \frac{F}{6} b(b^2 - l^2) + D_1 l + D_2 = 0 $   

Aus der zweiten Übergangsbedingung erhält man schließlich (einsetzen von $x = a$):

$- F \frac{b}{l} \frac{a^2}{2} + C_1  = - F\frac{ba^2}{2l} + F\frac{(a-a)^2}{2} + D_1$

$ -F\frac{ba^2}{2l} + C_1 = - F\frac{ba^2}{2l} + D_1$

Nimmt man nun die erste Übergangsbedingung hinzu, liefert dies (einsetzen von $x = a$):

$ -F\frac{b}{l}\frac{a^3}{6} + C_1a = -F\frac{ba^3}{6l} + D_1a + D_2 $

Da bereits bekannt ist, dass $ C_1 = D_1 $, können aus der letzten Gleichung alle Terme bis auf $ D_2 $ gekürzt werden und man erhält die Aussage, dass

Setzt man nun den Wert für $ D_2 $ in die oben aus der 2. Randbedingung bestimmte Gleichung ein, so ergibt sich für $ D_1 $ 

7. Aufstellung der Biegungsgleichungen für Bereich I & II

$ w_1 = \frac{F}{6EI} \frac{b}{l} [(l^2 - b^2)x - x^3] $

$ w_2 = \frac{F}{6EI} \frac{b}{l} [(l^2 - b^2)x - x^3 + \frac{l}{b}(x - a)^3] $

Wie man sieht ist der Ablauf der Berechnungen im Mehrbereichsfall sehr ähnlich gestaltet wie im Einbereichsfall.