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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Allgemeine Definition der Spannung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Allgemeine Definition der Spannung

Unter Spannung versteht man ein Maß zur Beschreibung der Materialbeanspruchung eines Körpers. Dabei ist nicht von Interesse wie Kräfte oder Resultierende auf den Körper einwirken, sondern die lokale Wirkung innerer Kräfte. Hierzu betrachtet man die Kräfte in Bezug auf eine sehr kleine Fläche oder ein sehr kleines Volumen. Die gesamte Querschnittsfläche ist nicht Gegenstand der Untersuchung.

Merke

Die äußere Belastung, die ein Bauteil erfährt, sagt noch nichts über die innere Beanspruchung aus. 

Zur Erfassung der inneren Kräfte führt man wie gewohnt einen Schnitt durch das Bauteil und trägt an den Schnittflächen die Schnittgrößen an. Diese in der Schnittfläche verteilten inneren Kräfte bezeichnet man als Flächenkräfte und sie stellen die Spannungen dar. Die Dimension der Spannungen wird in Kraft pro Fläche angegeben und hat die Einheit $\frac{N}{m^2}$ oder ein Vielfaches davon.

Man stelle sich einen Körper mit der Querschnittsfläche $A$ vor, der mit den Kräften $F_i$ beliebig belastet wird. Diese äußeren Kräfte verursachen innere Kräfte. Wird nun ein Schnitt durchgeführt, so greift an jedem Flächenelement $\triangle A$ die innere Kraft $\triangle F$ an. Diese Kraft kann zerlegt werden in einen Anteil $\triangle N$ (Normalenrichtung) senkrecht und einen Anteil $\triangle T$ (Tangentialrichtung) parallel zur Querschnittsfläche.

Schnitt durch den Körper
Schnitt durch den Körper

Spannungsvektor

Um nun den Spannungsvektor zu ermitteln, reduziert man das Flächenelement $\triangle A $ auf das infinitesimale Flächenelement $d A $ und erhält dadurch:

$\ t = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle F}{\triangle A} = \frac{dF}{dA} $

Lokaler Spannungsvektor
Lokaler Spannungsvektor

Normalspannung und Schubspannung

Merke

Man unterscheidet zwei Spannungsarten: Normalspannungen und Schubspannungen

Um die Normalspannung $\sigma$ und Schubspannung $\tau$ zu ermitteln, zerlegt man den Spannungsvektor $t$ in seine Normal- und Tangentialkomponente. Aus den obigen beiden Grafiken kann man dann folgern:

$\sigma= \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle N}{\triangle A} = \frac{dN}{dA} $

und

$\tau = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle T}{\triangle A} = \frac{dT}{dA} $

Hierbei ist die Normalspannung $ \sigma $ senkrecht zur Querschnittsfläche des Bauteils gerichtet. Die Schubspannung $\tau $ hingegen wirkt parallel zur Querschnittsfläche. 

Bei dieser Herleitung wurde davon ausgegangen, dass die Spannungsverteilung unabhängig von der Lasteinleitung gleichmäßig über den Querschnitt verteilt ist. Tatsächlich existiert aber in Nähe der Lasteinleitungsstelle ein komplizierter Spannungszustand. 

Da eine Berechnung von inneren Kräften und Spannungen sehr komplex ist und einen hohen Rechenaufwand beinhaltet, werden im Rahmen dieses Kurses Vereinfachungen getroffen, die sich nach dem Prinzip von St. Venant richten:

Merke

Prinzip von St. Venant

In unmittelbarer Nähe der Lasteinleitungsstellen ergeben sich recht komplizierte Spannungsverteilungen. Mit hinreichend großem Abstand zu diesen Stellen darf man annehmen, dass diese komplizierten Spannungsverteilungen abgeklungen sind und die Spannungen gleichmäßig verteilt sind. Will man genauere Untersuchungen durchführen, so muss man gegebenfalls eine nähere Untersuchung der Lasteinleitungsstellen durchführen.