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Allgemeine Definition der Spannung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Unter Spannung versteht man ein Maß zur Beschreibung der Materialbeanspruchung eines Körpers. Dabei ist nicht von Interesse wie Kräfte oder Resultierende auf den Körper einwirken, sondern die lokale Wirkung innerer Kräfte. Hierzu betrachtet man die Kräfte in Bezug auf eine sehr kleine Fläche oder ein sehr kleines Volumen. Die gesamte Querschnittsfläche ist nicht Gegenstand der Untersuchung.

Merke

Die äußere Belastung, die ein Bauteil erfährt, sagt noch nichts über die innere Beanspruchung aus. 

Zur Erfassung der inneren Kräfte führt man wie gewohnt einen Schnitt durch das Bauteil und trägt an den Schnittflächen die Schnittgrößen an. Diese in der Schnittfläche verteilten inneren Kräfte bezeichnet man als Flächenkräfte und sie stellen die Spannungen dar. Die Dimension der Spannungen wird in Kraft pro Fläche angegeben und hat die Einheit $N/mm^2$.

Man stelle sich einen Körper mit der Querschnittsfläche $A$ vor, der mit den Kräften $F_i$ beliebig belastet wird. Diese äußeren Kräfte verursachen innere Kräfte. Wird nun ein Schnitt durchgeführt, so greift an jedem Flächenelement $\triangle A$ die innere Kraft $\triangle F$ an. Diese Kraft kann zerlegt werden in einen Anteil $\triangle N$ (Normalenrichtung) senkrecht und einen Anteil $\triangle T$ (Tangentialrichtung) parallel zur Querschnittsfläche.

Schnitt durch den Körper
Schnitt durch den Körper

Spannungsvektor

Um nun den Spannungsvektor zu ermitteln, reduziert man das Flächenelement $\triangle A $ auf das infinitesimale Flächenelement $d A $ und erhält dadurch:

$\ t = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle F}{\triangle A} = \frac{dF}{dA} $

Lokaler Spannungsvektor
Lokaler Spannungsvektor

Normal- und Schubspannung

Merke

Man unterscheidet zwei Spannungsarten: Normalspannungen und Schubspannungen

Um die Normalspannung $\sigma$ und Schubspannung $\tau$ zu ermitteln, zerlegt man den Spannungsvektor $t$ in seine Normal- und Tangentialkomponente. Aus den obigen beiden Grafiken kann man dann folgern:

$\sigma= \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle N}{\triangle A} = \frac{dN}{dA} $

und

$\tau = \lim\limits_{\triangle A \rightarrow 0} \frac{\triangle T}{\triangle A} = \frac{dT}{dA} $

Hierbei ist die Normalspannung $ \sigma $ senkrecht zur Querschnittsfläche des Bauteils gerichtet. Die Schubspannung $\tau $ hingegen wirkt parallel zur Querschnittsfläche. 

Bei dieser Herleitung wurde davon ausgegangen, dass die Spannungsverteilung unabhängig von der Lasteinleitung gleichmäßig über den Querschnitt verteilt ist. Tatsächlich existiert aber in Nähe der Lasteinleitungsstelle ein komplizierter Spannungszustand. 

Da eine Berechnung von inneren Kräften und Spannungen sehr komplex ist und einen hohen Rechenaufwand beinhaltet, werden im Rahmen dieses Kurses Vereinfachungen getroffen, die sich nach dem Prinzip von St. Venant richten:

Merke

Prinzip von St. Venant

In unmittelbarer Nähe der Lasteinleitungsstellen ergeben sich recht komplizierte Spannungsverteilungen. Mit hinreichend großem Abstand zu diesen Stellen darf man annehmen, dass diese komplizierten Spannungsverteilungen abgeklungen sind und die Spannungen gleichmäßig verteilt sind. Will man genauere Untersuchungen durchführen, so muss man gegebenfalls eine nähere Untersuchung der Lasteinleitungsstellen durchführen.

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Kommentare zum Thema: Allgemeine Definition der Spannung

  • Stommel schrieb am 18.08.2015 um 16:26 Uhr
    Hallo, leider sind die Bilder nicht zu sehen. Nur diese Seite zeigen die Bilder Fehlanzeige. Die restliche Seite sind bereits zu sehen. Ich habe die Seite neu aktualisiert sowie F5 probiert.
  • Jan Morthorst schrieb am 18.08.2015 um 16:14 Uhr
    Hallo Stommel, sollten die Bilder nicht angezeigt werden, versuchen Sie die Website mit F5 auf Ihrer Tastatur zu aktualisieren. dann sollte das Problem behoben sein. Viele Grüße Ihr Ingenieurkurse.de-Team
  • Stommel schrieb am 18.08.2015 um 15:58 Uhr
    Die Bilder sind nicht zu sehen!
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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Allgemeine Definition der Spannung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

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  • Grundlagen
    • Grundlegende Annahmen der Elastostatik
    • Statisches Gleichgewicht
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  • Stabbeanspruchungen
    • Allgemeine Definition der Spannung
    • Spannungen im Stab
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