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Technische Mechanik 1: Statik - Cremonaplan aufstellen

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Technische Mechanik 1: Statik

Cremonaplan aufstellen

Inhaltsverzeichnis

Nachdem die Lagerkräfte bestimmt worden sind, kann als nächstes der Cremonaplan zur Bestimmung der Größen und Richtungen der Stabkräfte aufgestellt werden. Wir betrachten hierzu das Ausgangsbeispiel, wobei die Stäbe durchnummeriert werden:

Cremonaplan Beispiel Fachwerk
Beispiel: Cremonaplan

Das Prinzip des Cremonaplans beruhrt darauf, dass sich jeder Knoten in einem Fachwerk im Gleichgewicht befindet. Fasst man die Stabkräfte an den Knoten als äußere Kräfte auf, so ist die Summe aller an den Knoten angreifenden Kräfte gleich Null. Damit lässt sich für jeden Knoten ein geschlossenes Krafteck zeichnen. Werden diese einzelnen Kraftecke zusammengefügt, entsteht der Cremonaplan.

Merke

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Da jede Stabkraft an zwei Knoten angreift und damit in zwei Kraftecken vorkommt ergibt der Cremonaplan ein geschlossenes Krafteck, in dem jede Stabkraft einmal vorkommt.


Die Auflagerkräfte nach dem Culmann-Verfahren ergaben (vorheriger Abschnitt):

Methode

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$B = 2 cm = 1 kN$

$A_h = 3 cm = 1,5 kN$

$A_v = 4 cm = 2 kN$

Maßstab: $1 kN = 2cm$

 

Hinweis

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Bei Aufstellung des Cremonaplans müssen alle Kräfte in einem voher festgelegten Umlaufsinn abgetragen werden (rechts- oder linksherum). Dieser Umlaufsinn muss die gesamte Untersuchung über beibehalten werden.

Zunächst können die äußeren Kräfte diesem Umlaufsinn entsprechend aufgezeichnet werde. Danach folgt die Betrachtung der Knoten und der daran angreifenden Kräfte. Auch hier muss dieser festgelegten Umlaufsinn beibehalten werden.

Vorgehensweise: Cremonaplan

Zunächst wird das Krafteck für die von außen angreifenden Kräfte gezeichnet. Dazu gehören die Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ sowie die bereits berechneten Auflagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$. Wie bereits unter Voraussetzungen beschrieben, muss hier ein Umlaufsinn gewählt werden, in dem die äußeren Kräfte in das Krafteck gezeichnet werden. Es wird die Rechtsdrehung (mit dem Uhrzeigersinn) als Umlaufsinn gewählt. Wir beginnen zum Beispiel am Lager $B$ und gehen dann mit dem Uhrzeigerinn um das Fachwerk. Nach $B$ muss dann also $A_v$, dann $A_h$, $F_1$, $F_2$ und als letztes $F_3$ aufgezeichnet werden. Am Ende muss sich für die äußeren Kräfte ein geschlossenes Krafteck ergeben.

Die Längen der Kraftvektoren müssen mit einem geeigneten Maßstab eingezeichnet werden (z.B. $1 kN = 2cm$).

Cremonaplan Krafteck äußere Kräfte
Krafteck: Äußere Kräfte

 

Es kann als nächstes begonnen werden die Stabkräfte mit einzubeziehen. Hierbei wählt man einen Knoten aus, welcher eine (oder mehrere) der obigen Kräfte beinhaltet und maximal zwei unbekannte Stäbe aufweist. Es wird hier der Knoten $III$ gewählt mit der bekannten Auflagerkraft $B$.

Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:

Begonnen wird mit der bekannten Kraft (hier: $B$). Danach dreht man sich um den Knoten in einer Rechtsdrehung (Umlaufsinn muss beibehalten werden) um den Knoten. Dabei trifft man als nächstes auf den Stab $2$. An das Ende der vorangegangenen Kraft $B$ wird nun die Wirkungslinie der Stabkraft $2$ als Gerade (ohne Größe) abgetragen. Danach trifft man auf die Stabkraft $6$ und trägt diese ebenfalls mit ihrer Wirkungslinie ab. Da die Stabkraft $2$ das Krafteck schließen muss, geht sie durch den Anfangspunkt der Auflagerkraft $B$. Das Krafteck $B-1-6$ ist damit gegeben und die Richtungen und Längen der Stabkräfte $1$ und $6$. Dabei muss der Umlaufsinn beibehalten werden: Die Spitze einer Kraft berührt immer den Anfangspunkt der drauffolgenden Kraft. Die Größen der Stabkräfte lässt sich durch Messen der einzelnen Längen im gewählten Maßstab ermitteln.

Cremonaplan Krafteck Knoten III
Cremonaplan: Knoten III

 

Der Stab $6$ ist 2,2cm lang, der Stab $2$ ist 1 cm lang. Es gilt demnach:

Methode

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$S_6 = 1,1 kN$      (Druckstab)

$S_2 = 0,5 kN$     (Zugstab)

Der Stab $2$ zeigt nach links und der Stab $6$ schräg unten nach rechts. Wenn wir den Knoten $III$ betrachten zeigt die Stabkraft $2$ also vom Knoten weg (Zugstab) und die Stabkraft $6$ zum Knoten hin (Druckstab). Im Cremonaplan selber werden die Richtungen der Stäbe nicht eingezeichnet, sondern im Fachwerk mittels Pfeilen kenntlich gemacht:

Cremonaplan Zugstab Druckstab
Richtungen der Stabkräfte

 

Die oben genannte Vorgehensweise wird so fortgeführt. Der nächste Knoten der ausgewählt wird, sollte eine der oben ermittelten Stabkräfte enthalten. Wir betrachten also die Knoten $II$ (enthält die Stabkraft $2$) und Knoten $V$ (enthält die Stabkraft $6$). Knoten $II$ weist 3 unbekannte Stabkräfte auf, Knoten $V$ hingegen 2 unbekannte Stabkräfte. Demnach wird der Knoten $V$ gewählt.

Dort greifen die Kräfte $F_2$ und $F_3$ an sowie die bereits bekannte Stabkraft $6$. Außerdem die zwei unbekannten Stabkräfte $5$ und $7$. Die Kräfte $F_2$ und $F_3$ sind bereits im Cremonaplan enthalten. Von diesen Kräften ausgehend trifft man bei einer Rechtsdrehung um den Knoten $V$ als nächstes auf die Stabkraft $6$. Diese liegt bereits an Kraft $F_3$. Danach trifft man auf die Stabkraft $5$. Diese wird mit ihrer Wirkungslinie an den Endpunkt der Stabkraft $6$ gelegt. Die Stabkraft $7$ wird dann mit ihrer Wirkungslinie an den Anfangspunkt der zuerst verwendeten Kraft (hier: $F_2$) gelegt. Die Stabkraft $5$ und $7$ müssen sich natürlich schneiden, also müssen gegebenfalls die Wirkungslinien verlängert eingezeichnet werden. 

Merke

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Nicht vergessen. Für den Knoten $V$ ist die Stabkraft $6$ ebenfalls ein Druckstab. Sie zeigt also auf den Knoten $V$.

Cremonaplan Krafteck Knoten V
Cremonaplan: Knoten V

Das Messen der Längen ergibt für den Stab $5$ 2,2 cm und für den Stab $7$ 3cm:

Methode

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$S_5 = 1,1 kN$      (Druckstab)

$S_7 = 1,5 kN$      (Druckstab)

Bei Betrachtung des Knotens $V$ wird sichtbar, dass es sich bei beiden Stäbe um Druckstäbe handelt. Diese Richtungen werden wieder in das Fachwerk eingetragen.

Als nächstes können die Knoten $II$ oder $IV$ betrachtet werden, da diese Knoten jeweils zwei unbekannte Stabkräfte aufweisen und mindestens eine bereits ermittelte Stabkraft. Es wird nun zunächst Knoten $IV$ gewählt:

Von $F_1$ ausgehend trifft man bei einer Rechtsdrehung um den Knoten zunächst auf die Stabkraft $7$. Diese ist bereits im Cremonaplan enthalten. Der nächste Stabkraft ist dann die Stabkraft $4$, welche mit der Wirkungslinie an den Endpunkt der Stabkraft $7$ gelegt wird (zeigt auf den Knoten). Die Stabkraft $3$ wird mit der Wirkungslinie an den Anfangspunkt der zuerst verwendeten Kraft gelegt (hier: $F_1$). 

Cremonaplan Krafteck Knoten IV
Cremonaplan: Knoten IV

Das Messen der Stäbe ergibt für den Stab $4$ 2,3 cm und für den Stab $3$ 4,6 cm. Es ergibt sich also:

Methode

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$S_4 = 1,15 kN$    (Zugstab)

$S_3 = 2,3 kN$      (Druckstab)

Betrachten wir nun wieder den Knoten $IV$ so zeigt die Stabkraft $4$ vom Knoten weg (Zugstab) und die Stabkraft $3$ zum Knoten hin (Druckstab). Auch diese Richtungen werden wieder in das Fachwerk eingetragen.

Es ist noch eine unbekannte Stabkraft im Fachwerk enthalten. Die Stabkraft $1$. Diese kann nun entweder über den Knoten $II$ oder über den Knoten $I$ bestimmt werden. Es wird im weiteren der Knoten $II$ betrachtet:

Begonnen wird immer mit den bereits bekannten Kräften. In diesem Fall also die Stabkräfte $4$, $5$ und $2$. Wir beginnen also mit der Stabkraft $4$, danach folgt die Stabkraft $5$ und danach die Stabkraft $2$ (Rechtsdrehung um den Knoten). Diese Stäbe sind bereits im Cremonaplan vorhanden. Als nächstes wird der Stab $1$ an den Endpunkt des Stabs $2$ gelegt (der Stab $2$ ist ein Zugstab, zeigt also vom Knoten $II$ weg). Zusätzlich muss der Stab $1$ den Anfangspunkt des Stabes $4$ berühren damit ein geschlossenen Krafteck vorliegt (die Stabkraft $4$ ist als Zugstab ermittelt worden, zeigt demnach vom Knoten $II$ weg):

Cremonaplan Krafteck Knoten II
Cremonaplan: Knoten II

Der Stab $1$ weist eine Länge von 1 cm auf. Es ergibt sich demnach:

Methode

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$S_1 = 0,5 kN$


In der nachfolgenden Grafik ist das Fachwerk mit den Richtungen der Stäbe sowie der Cremonaplan veranschaulicht: 

Cremonaplan und Fachwerk
Cremonaplan: Gesamtübersicht

 

Zur besseren Übersicht kann man für jeden Knoten das Krafteck in einer zusätzlichen Zeichnung visualisieren. Mit etwas Übung können die Stabkräfte aber auch im Gesamtkrafteck (=Cremonaplan) ermittelt werden (so wie hier geschehen). Hier hat man am Ende auch eine Kontrolle, da sich das Gesamtkrafteck schließen muss.